來簡單說一下當(dāng)前可以確認(rèn)的理論物理的高度。我們最早的理論物理是為實驗服務(wù)的。在那個年代，我們依然處于做大量的實驗，然后總結(jié)規(guī)律的階段。所以在這一階段涌現(xiàn)出了一系列比較初等的定律，比如

• 熱力學(xué)第n定律
• Snell 定律（光的折射定律）
• 萬有引力定律
• Coulomb 定律（靜電相互作用）
• Faraday 定律 (電磁感應(yīng)定律）

• 一切電磁相關(guān)的現(xiàn)象均可被 Maxwell 電磁理論描述
• 一切引力相關(guān)的現(xiàn)象均可被 Einstein 引力理論描述
• 一切熱學(xué)相關(guān)的現(xiàn)象均可被 統(tǒng)計理論描述

這里面  是作用量，  被稱為 Lagrangian。為了得到 Maxwell 電磁理論，你只需要 ，為了得到廣義相對論，你只需要 。是的，你只要指定一個 Lagrangian，然后上述原理就可以自動給你生成一個理論。

除了上述的兩個經(jīng)典的 theory generator，現(xiàn)在我們熟知的量子力學(xué)（當(dāng)然你得把 Schroedinger 方程寫成  這樣的抽象形式），量子場論，以及曾經(jīng)火過兩回的弦理論，都是 theory generators。它們當(dāng)中都有類似于 Lagrangian 或 Hamiltonian 這一類的抽象的量，在給定這些量的情況下，就自動生成理論。

一般的 Lagrangian 是某個動力學(xué)變量（比如粒子的位置  或者某個場  )以及它的導(dǎo)數(shù)（比如速度  或者場的梯度  ）的函數(shù)。我們通常把含導(dǎo)數(shù)的項稱為動能項，其余的稱為勢能項。

先來看動能項。我們發(fā)現(xiàn)無論是哪一種理論，動能項往往能夠被寫成一階導(dǎo)數(shù)的平方，比如通常經(jīng)典力學(xué)里的動能項  就是速度的平方，再比如標(biāo)量場的動能項  也是一階導(dǎo)數(shù)的平方。個別例子中有出現(xiàn)僅僅是一階導(dǎo)數(shù)，沒有平方，比如 Dirac 場的動能項。不過無論如何，我們基本沒有見過動能項中含有超過兩個求導(dǎo)算子的情況。這并不是偶然，因為如果動能項中含有超過兩個求導(dǎo)算子，就會造成一種被稱為 Ostrogradsky Instability 的現(xiàn)象。

具體來說，就是這樣的理論會允許物理系統(tǒng)可以有一直到負(fù)無窮的能量。為了理解這一點，我們需要 Hamiltonian。Hamiltonian 是 Lagrangian 經(jīng)過一個簡單的變換生成的，它的主要作用是告訴你這個系統(tǒng)的能量可以取哪些值。舉個例子，一個經(jīng)典的自由粒子的 Hamiltonian 是  ，其中  是動量，  是質(zhì)量。動量可以從  一直取到  ，此時 Hamiltonian 可以取  ，也就告訴你自由粒子的能量一定是  的。

但是如果你的 Lagrangian 中含有超過兩個求導(dǎo)算子，那么我們可以證明，Hamiltonian 會出現(xiàn)如下的形式

其中  是某種動量（術(shù)語上叫廣義動量），  是某個坐標(biāo)。這個時候我們發(fā)現(xiàn)如果  可以隨意在  中取值，那么 Hamiltonian 的范圍也是  。這就造成了一個嚴(yán)重的問題，如果能量沒有下界，那么這個系統(tǒng)（或者其中一部分）就會無止境地向能量較低的狀態(tài)去演化，從而造成強烈的不穩(wěn)定性，這是不可接受的。

再來看勢能項。勢能項只包含我們的動力學(xué)變量（比如坐標(biāo)  或者某個場  ），因此我們可以將其進(jìn)行展開（類似于微積分里面的 Taylor 展開）。展開之后具有冪級數(shù)的形式

每一個  之前都會有一個系數(shù)  ，這個系數(shù)控制了對應(yīng)的相互作用的強度。比如，我們知道彈簧系統(tǒng)的勢能項是

如果某個項的系數(shù)具有正的質(zhì)量量綱，比如標(biāo)量場論中，系數(shù)是  ，質(zhì)量量綱是+2，那么它的強度會隨著能標(biāo)的下降而上升，這種項被稱為 relevant；反過來，如果系數(shù)具有負(fù)的質(zhì)量量綱，比如引力常量  ，那么它的強度會隨著能標(biāo)的下降而下降，這種項被稱為 irrelevant。而沒有量綱的被稱為 marginal。

在場論中，Lagrangian 的量綱是+4，標(biāo)量場  是+1，因此  的項就是 marginal 了， 及以上就是 irrelevant 了。于是低能情況下我們只需要考慮至多3個項。這個結(jié)論對于很多理論均適用，也即 relevant 的項總是有限個，因此低能下只需要考慮有限個勢能項。

所以這是不是意味著我們通常是見不到這些 irrelevant 的項的作用呢？并不是。在高能標(biāo)下，一切都要倒過來，也即 relevant 項會很弱，而 irrelevant 項很強。要獲得高能標(biāo)，除了注入能量以外還可以注入質(zhì)量。所以在注入足夠多質(zhì)量以后，我們發(fā)現(xiàn)了 irrelevant 項的作用 —— 這就是引力。引力相互作用的系數(shù)是引力常量  ，具有負(fù)的質(zhì)量量綱。

[1] 在自然單位制下，  。也就是說，我們把長度單位定義為光在1秒內(nèi)走過的距離，這樣光速的值就是1。這樣一來我們有  ，也就是說從量綱角度上講，長度和時間的量綱是一樣的。同理根據(jù)  我們有  。這個故事就是告訴你長度，時間，質(zhì)量三個量綱，現(xiàn)在我們只需要一個，這里我們選質(zhì)量。

IEEE Spectrum

《科技縱覽》

官方微信公眾平臺