__1__電子會在導體中流淌，而不會在絕緣體中流淌。在導體中，電子有著非常復雜的運動方式，要完全精確地知道導體中究竟發生了什么幾乎不可能的。但在過去的50多年里，數學家和物理學家開始意識到，大量電子的流動會形成漂亮的統計模式——在導體和絕緣體中，電子的運動會呈現不同的統計分布。但這更多的是一種”直覺“，這種統計模式并沒有被確切地證實過。在過去半個多世紀里，數學家一直在尋找能證明這一點的數學模型。去年夏天，有三位數學家完成了一次突破，得出了最接近這一目標的結果。他們分別是紐約大學的Paul Bourgade、哈佛大學的Horng-Tzer Yau和加州大學洛杉磯分校的Jun Yin。他們證明了一種被稱為“普適性”的數學特征的存在，而這可用來證明材料的導電性。在上世紀60年代，著名物理學家尤金·維格納（Eugene Wigner）提出了對量子物理學的宏偉愿景。他了解量子相互作用的復雜性，明白這是無法被準確描述的，所以他寄希望于統計學能顯現這些相互作用的本質。而Bourgade等人的研究結果就是對這一愿景的最新驗證。即便是看似不具有相關性的孤立事件也可能具有可預測的統計模式。有許多類型的統計模式是獨立事件可以遵循的。正態分布可能是最著名的統計模式，它的曲線呈鐘形，能描述許多類非關聯事件的統計分布；還有齊夫定律，它描述了一個數據集中最大數字的相對大小；此外還有本福特定律，它描述了一個數據集的首位數字的概率分布。_2__20世紀50年代，維格納遇到了一個問題，他想要模擬鈾原子核內的數百個粒子之間的相互作用。但這個問題太過于復雜了，他需要借助一種新的統計模式來應對這個問題。他對這個問題進行了簡化，忽略了單個粒子之間的相互作用，而是轉而關注整個系統的平均統計行為。為了說明粒子之間如何相互作用，維格納使用了一個數字網格。這個網格被稱為矩陣，如果能夠精確地確定矩陣中的數字，也就可以精確地確定粒子間的相互作用。但維格納只能做到用隨機的數字來填充這些矩陣。他希望這樣的操作能使他的計算得以繼續，并且在最后仍能對鈾核作出有效的描述。結果他確實做到了。維格納發現，他能夠從“隨機”矩陣中提取出一種模式，這種模式涉及到矩陣的特征值。他驚訝地發現，隨機的矩陣卻具有關聯的特征值。如果用數軸來表示這些特征值，會發現它們似乎呈現出某種規則的間隔。現在，這種分布常被稱為Wigner-Dyson-Mehta分布，它所描述的現象就是普適性。普適性可以描述許多不同種類的事物，一般來說，它與復雜的關聯系統有關。通過對鈾原子核的建模，維格納作出猜想：隨機矩陣應該能夠描述任何由相互關聯的粒子構成的量子系統，這意味著所有粒子都會相互影響。Yau解釋說，任何量子系統，如果它是高度關聯的，那么它的特征值分布將與隨機矩陣類似。后來的研究人員推測，當物理系統中的粒子以一種非關聯的方式運動時，矩陣的特征值應該遵循泊松分布，這與正態分布有關。這也就是像粒子在絕緣體中的行為那樣。所以，材料之所以導電，是因為它們的電子會以一種有序的、相關的方式相互作用。它們攜帶者電流，步調一致地一起移動。所以維格納的猜想表明，如果一個量子系統的特征值具有普適性，這就證明系統中的粒子是以一種相關的方式在相互作用，從而證明這樣的系統就是導體。__3__維格納的鈾原子核模型算不上是一個非常現實的導體模型，因為維格納沒有將空間結構納入考量。他的模型中包含了這樣一個假設，那就是每個粒子都以同樣的可能性與其他粒子相互作用；他沒有考慮到在現實的材料中，距離較近的粒子比距離較遠的粒子更有可能相互作用。這對于維格納的鈾原子核系統來說問題不大，因為在這個系統中，粒子會被緊緊地束縛在原子核這一小塊區域內，每個粒子都會相互作用。這種不考慮粒子間距離的物理模型被稱為”平均場“模型。它們使用起來更簡單，卻遠無法精確描述真實的物理世界。數學家在十多年前就已經證明了，導電材料的特征值遵循維格納的普遍模式，但這一證明只適用于平均場模型。因此，數學家需要研究的是更接近物理現實的非平均場模型，也就是說粒子只會與周圍的粒子相互作用的模型。而在新的論文中，三位數學家幾乎實現了這一點。在他們的模型中，粒子可以與最近鄰以及周圍更多的一些粒子相互作用，但并不會與系統中所有的粒子都發生相互作用。用于描述這種相互作用的矩陣被稱為隨機帶狀矩陣。在數學中，帶狀矩陣是一種稀疏矩陣，矩陣中數值為0的元素數目遠遠多于非0元素的數目，而且這些非0元素都集中在矩陣對角的一條帶上。隨機帶狀矩陣的這種結構，能使粒子只能與較為臨近的粒子相互作用，而不能與相距太遠的粒子作用。也就是說，這種”帶“可以描述每個粒子周圍發生相互作用的區域。他們證明了，特征值在一些特定的隨機帶矩陣中仍然遵循維格納在平均場矩陣中觀察到的分布。這意味著，即使我們限制電子，讓它們只能與附近的粒子相互作用，也能得到維格納在簡化的”平均場“模型中發現的平均統計行為，也就是特征值的分布。當維格納第一次發現普遍分布的特征值時，這似乎很難置信。而新的研究表明，維格納的洞察是正確的，他的猜測是有根據的。在某種程度上，這樣的結果或許連維格納本人都會感到驚訝。原文作者為Kevin Hartnett，原文標題“Universal Pattern Explains Why Materials Conduct”，首發于2019年5月6日的Quantamagazine。原文鏈接：https://www.quantamagazine.org/universal-pattern-explains-why-materials-conduct-20190506/. 中文內容有刪減，僅供參考，一切內容以英文原版為準。文章來源：數學職業家IEEE Spectrum《科技縱覽》官方微信公眾平臺往期推薦數學國里有座天才云集的“瘋人院”史上最后一位數學全才——龐加萊從一套郵票看改變世界的十個數學公式 查看全文
