“洞的形狀都挺怪的，不過任意兩點的距離都不超過1厘米。”媽媽翻出了一些碎布頭，形狀都是直徑1厘米的圓形，她認(rèn)為這樣應(yīng)該就足夠補上各種形狀的洞了。不過真的是這樣嗎？想要蓋住形狀各異，但最寬不超過1厘米的破洞，直徑1厘米的圓形補丁真的夠用嗎？讓我們假設(shè)你的褲子上破了一個三角形的洞，這是一個邊長1厘米的等邊三角形——因此三角形中任意兩點間的距離都不會超過1厘米，符合我們在開頭對洞的要求。但是你會發(fā)現(xiàn)，直徑1厘米的圓形補丁并不能完全蓋住這個洞。
直徑1厘米的圓形并不能完全覆蓋邊長為1厘米的等邊三角形。（若無特殊標(biāo)注，本文圖片均來自Quanta Magazine）經(jīng)過簡單的計算，你就能理解這個道理。圓的半徑是0.5厘米，但等邊三角形中心到頂點的距離是√3/3 ≈ 0.58厘米——大于圓的半徑，這個圓當(dāng)然就無法覆蓋到三角形的頂角了。當(dāng)然了，最保險的方法就是準(zhǔn)備一大塊布，這樣什么洞都能補上了，就是有些浪費。那么問題來了：能不能找到面積最小的一塊布，讓它能夠補上任意形狀的，寬不超過1厘米的洞呢？在數(shù)學(xué)中，這被稱為“萬有覆蓋問題”（universal covering problem）。這個問題是亨利·勒貝格（Henri Lebesgue）在1914年寫給另一位數(shù)學(xué)家朱利葉斯·帕爾（Julius Pál）的一封信中提出的。這個問題的說法有很多種，但它們的核心都是寬度為1，也就是在平面上有一個圖形，圖形中任意兩點間的距離都不超過1。勒貝格的萬有覆蓋問題，就是要求找到一個面積最小的圖形，使其能夠“覆蓋”所有寬度為1的圖形。這個看似簡單的問題其實已經(jīng)困擾了數(shù)學(xué)家們一百多年，甚至到了現(xiàn)在，他們依然沒有找到最終答案。如果只要求能夠覆蓋所有寬度為1的洞，那么我們有很多的選擇，但要找出面積最小的那個就很困難了。為了討論這個問題，讓我們先假想出任意一個寬度為1的形狀R，雖然不知道它長什么樣子，但其中一定存在相距1單位長度的兩個點，我們稱之為A點和B點。那么現(xiàn)在想象形狀R中的第三個點C，C可能存在于哪些區(qū)域呢？首先，C點到A點的距離一定不能超過1。也就是說，我們以A為圓心，1單位長度為半徑畫一個圓A，C點一定在這個圓內(nèi)（或圓周上）。同樣的，C點到B點的距離也不能超過1單位長度，那么我們以B點為圓心，1為半徑作圓B的話，C點也應(yīng)該在這個圓的范圍內(nèi)。由于C點應(yīng)該既在圓A中，也在圓B中，那么C點就應(yīng)該落于兩圓的重合區(qū)，也就是下圖這個“橄欖球”形狀中。不止C點，形狀R中的其他點也需要滿足相同的條件，因此形狀R中的所有點都應(yīng)落在上圖的“橄欖球”中。換句話說，這個形狀能夠覆蓋所有可能的形狀R，那么它就是一個“萬有覆蓋”圖形。不過這塊“橄欖球”布料還是太大了，讓我們試著剪掉一部分。首先，添加兩條與線段AB平行的直線（如下圖），使其與AB的距離均為1/2，因此這兩條直線間的距離就是1單位長度。現(xiàn)在我們得到了這樣的兩塊紅色區(qū)域Ⅰ和Ⅱ，它們之間的最短距離為1。或者說，Ⅰ中的任意一點，與Ⅱ中的任意一點的距離一定大于1。想象一下，如果形狀R包含了Ⅰ區(qū)域中的某些點，那么這些點到Ⅱ區(qū)域中任意一點的距離一定會大于1，這就違背了我們對形狀R的要求。也就是說，此時的形狀R一定不能與Ⅱ區(qū)域重疊。因此，在Ⅰ和Ⅱ區(qū)域中，我們就可以剪掉一個了。這樣得到的“美妝蛋”一樣的形狀，依然是一個萬有覆蓋圖形。在裁剪之前，我們用到的“布料”面積是2π/3-√3/2≈ 1.228，而剪完后，“布料”的面積變成了π/2-1/2 ≈ 1.071。請記住我們得到這個“美妝蛋”的過程——從最容易想到的圖形出發(fā)，通過不斷裁剪多余的部分，我們就能獲得面積更小的萬有覆蓋圖形。這也正是數(shù)學(xué)家們探索面積最小的萬有覆蓋圖形的方法，不過他們是從六邊形開始的。還記得勒貝格的那位數(shù)學(xué)家朋友帕爾嗎？在收到勒貝格的來信后不久，帕爾就利用等寬曲線的性質(zhì)證明，對邊相距為1的正六邊形就能做到萬有覆蓋（等寬曲線是指曲線上任何一對平行切線的距離都相等的曲線，圓就是最常見的一種等寬曲線）。“帕爾六邊形”的面積比我們的“美妝蛋“更小了，其面積為√3/2≈ 0.866。不過，帕爾并不滿足于此，他發(fā)現(xiàn)這個六邊形還能再剪掉幾個角。我們知道，正六邊形的旋轉(zhuǎn)對稱角是60°。那么將另一個六邊形繞中心旋轉(zhuǎn)30°，再疊在原先的六邊形上，我們就能給原先的六邊形切出六個角，對應(yīng)下圖中的紅色區(qū)域。還記得我們是如何將“橄欖球”剪掉一個角，變成“美妝蛋”的嗎？接下來的步驟和我們之前的裁剪過程非常相似。首先，每一組相對的小三角間的距離都是1單位長度，因此每一對紅色三角中都有一個可以被裁去。我們當(dāng)然希望能夠剪掉三個——也就是每對中的一個。然而，如果真的剪掉三個角的話，這個圖形就無法滿足萬有覆蓋條件了。根據(jù)六邊形的對稱性，如果某個圖形占據(jù)了六個小三角中的三個時，它可能會出現(xiàn)兩種情況：連續(xù)的三個角（左圖），或是相間的三個角（右圖）。我們在圖里用藍(lán)色和紅色來表示這兩種情況。如果我們的形狀R占用了左圖中的三個藍(lán)色三角區(qū)域，那么我們就無法在剪掉右側(cè)圖形中的三個紅色三角的情況下，將其覆蓋。反之也是一樣，如果我們剪掉了左側(cè)圖形中的三個紅色三角，那么當(dāng)形狀R占據(jù)了右圖中藍(lán)色區(qū)域的三個三角時，新的圖形也無法將R覆蓋了。不過就算不能同時修剪掉三個角，我們至少可以裁掉兩個。如果我們剪掉既不相鄰也不相對的兩個紅色三角形區(qū)域的話，就不會出現(xiàn)上述的問題了，而這就是帕爾所做的。帕爾剪掉了六邊形的兩個角，這樣得到的新圖形仍然能夠覆蓋所有寬度為1的形狀。這個新圖形的面積是2-2√3/3≈ 0.8453，比帕爾六邊形的面積減少了約0.0207。接下來的修剪工作就愈發(fā)艱難了。在帕爾的工作基礎(chǔ)上，1936年，數(shù)學(xué)家羅蘭·斯普拉格（Roland Sprague）移除了面積為0.001的一塊小碎片。隨后，在1992年，H·C·漢森（H. C. Hansen）從右下角和左下角裁去了0.00000000004個平方單位的面積（小數(shù)點后10個0，不用數(shù)了）。2014年，一位本職是軟件工程師的業(yè)余數(shù)學(xué)家（雖然說是業(yè)余，但是人家也有數(shù)學(xué)的博士學(xué)位）菲利普·吉布斯（Philip Gibbs）選擇了一種簡單粗暴的解答思路——先看答案，再想過程。他用計算機隨機生成了200個寬度為1的圖形，把他們疊到一起，然后以其覆蓋的形狀為線索，找出了對過去萬有覆蓋圖形的頂部的修整方法。他的證明于2015年發(fā)表，該論文將此前的萬有覆蓋圖形再次縮小了0.0000224平方單位。
菲利普·吉布斯與帕爾六邊形（圖片來源：Philip Gibbs）這項成果給了吉布斯很大的信心，在他2018年發(fā)表的另一篇文章中，他又剪掉了“一大塊”區(qū)域，使萬有覆蓋面積從0.8441153降到了0.84409359平方單位。
灰色的部分是吉布斯裁剪的角（圖片來源：Philip Gibbs）從1914年至今，數(shù)學(xué)家們一直在尋找最小的萬有覆蓋圖形，他們能走多遠(yuǎn)呢？2005年，彼得·布拉斯（Peter Brass）和梅爾博德·沙里夫（Mehrbod Sharifi）證明，萬有覆蓋面積不能小于0.832平方單位。因此我們知道，留給數(shù)學(xué)家裁剪的區(qū)域已經(jīng)不多了。不過大家也可以試著提出一種新技術(shù)，又或是裁剪的新起點，或許你也能像那位業(yè)余數(shù)學(xué)家一樣，更加逼近最小的萬有覆蓋圖形。參考資料：
https://www.quantamagazine.org/how-simple-math-can-cover-even-the-most-complex-holes-20200108/
https://www.quantamagazine.org/amateur-mathematician-finds-smallest-universal-cover-20181115/
文章來源：Quanta Magazine
IEEE Spectrum
《科技縱覽》
官方微信公眾平臺
