1
復數誕生——代數學家的記號
我猜想復數的引入是一些代數學家干的，當他們在求解方程x^2+1=0時，創造性的假設有±i兩個根，開始引入了復數。
而且顯然，i和1是R-線性無關的(就是說沒有兩個非零實數a、b能滿足a+bi=0)，于是自然而然的張成了一個二維R-線性空間，被記作C。(自然，高中課本更愿意把z∈C看做a+bi也正基于此——二維向量嘛)
隨后他們很快就定義了一套加減法出來，也就像是高中課本所說的那樣。
2
歐拉公式——歐拉的技巧
上過高數的一定忘不了泰勒公式，作為實函數微分學的最高成就，給多少學生留下了心理陰影。
3
復分析——分析學的美麗樂章
不同于我們物理系的選手，隔壁數學系的人總是要“浪費”大量時間糾結在定義上。Taylor展開固然美麗，但需要可導這些條件——等等，復空間上exp、cos、sin都沒定義，哪來的可導性質？
數學家開始研究復變函數的嚴格定義。首先復空間上的度量是很好定義的，就按二維歐氏空間來就好了(就是高中的模長)。由此函數的極限就可以定義了，自然，級數、導數的東西也有了。
多項式函數本就是可以定義的，于是數學家干了個事情——把結論當成定義推廣(這是數學發展貫穿始終的一個手法，隨處可見)——用泰勒級數去定義了exp、sin、cos之流的東西。
此外還有一個描述解析性質充要條件的柯西黎曼方程，連起了數分和復分析，將實函數的結論帶入復分析中。
可以看到復分析的高階導數，其實是用積分定義的，這跟實的完全不一樣，至于洛朗級數——泰勒的推廣，非常深刻。
柯西積分公式也有很多導出結論，比較著名的最小模定理、劉維爾定理、留數定理等等。
我們不妨說一下劉維爾定理：一個全純函數如果(絕對值)有界必然是常函數，柯西積分公式反證法一步出答案(證明留作習題答案略)，作者憑借這個史上最短證明一舉拿下博士學位——他的博士導師是歐姆，沒錯，電阻那個歐姆定律的歐姆。
4
代數閉域——代數學家的喜訊
代數學基本定理，這個高中生人盡皆知的、也是高斯一生(高斯自認為)最偉大的貢獻——一個一元n次復多項式在復平面內有n個根就可以來自這里(雖然高斯本人最早的證法遠不如用復分析證明的簡潔)。
用復分析工具(劉維爾定理)變得異常簡潔：
代數學基本定理的簡要證明：n次多項式只要有一個根，數學歸納即可證明。
一般叫基本定理的都很深刻，比如說算數基本定理、微積分基本定理之類的，代數基本定理告訴大家——復數是代數閉域！
有了代數閉域，代數學家就能搞事情了，比如線性代數里折磨每一個大一新生的Jordan標準型。
后面若爾當標準型還將在矩陣函數、常微分方程里反復出現，成為學渣心里揮之不去的痛。
5
黎曼猜想——菲爾茨獎在向你招手
還有些人接著在做分析，比如引入了解析延拓什么的。其中最著名的莫過于黎曼猜想。
如果你能證明上面這個黎曼函數的所有非平凡零點(就是不包括負偶數的零點)實部都是1/2，你將獲得菲爾茲獎——菲爾茨獎在向你招手！
據說這個東西跟數論什么的都有聯系，在數學界有很重要的地位。具體我就不太懂了，坐等相關領域大佬補充。
文章來源：數學職業家
IEEE Spectrum
《科技縱覽》
官方微信公眾平臺
往期推薦