浮點數的計算機表示（IEEE 754），由 UCB 數學教授 William Kahan 主要起草。后者也因其卓越貢獻于1989年獲得圖靈獎。計算機組成原理與匯編語言這兩門課均對該內容有所講解。與課程中直接拋出公式與概念不同，我想首先與各位探討"科學計數法"這個概念，進而討論設計二進制的科學計數法需要涉及到哪些元素。接著，我們討論如何在內存上表達這個方案。最后討論計算機的具體實現。
科學計數法
我們都了解科學計數法。科學計數法的精妙之處在于，其將"量級"與"數值"兩個信息拆分，讓使用者對這兩個信息更加明確。
如上，我們可以將任何有理數拆分成的形式。值得注意的是：
的取值范圍是 一定是一個整數
對于任何有理數，我們都可以用兩個范圍狹小（規則明確）的數字 B 與 C 來表示。
此外，我們知道，十進制只不過是記錄數字大小的一種方式而已。歷史上出現過的二進制、三進制、二十進制，都可以毫無障礙地表示數字，并且還有其獨具的數學特性。
那么，二進制可以用科學計數法表示嗎？答案當然是肯定的。
二進制的科學計數法
注意，這里下標2，代表這個數是二進制。 同理，對應十進制中的數字。
通過觀察十進制的科學計數法形式，對于二進制，我們自然可以做出如下約定：
的取值范圍是 一定是一個整數
這里我們補充說明一下，二進制的小數是什么樣的。對于 這個十進制數，如果要將其轉換為二進制：
將其整數部分與小樹部分分開； 對于整數部分 5，我們使用"不斷除以2取余數"的方法，得到101;對于小數部分 .25，我們使用"不斷乘以2取整數"的方法，得到.01。
關于進制轉換的具體方法與背后的數學原理，我寫過一篇文章進行討論，見這里：十進制轉二進制 / 八進制 / 十六進制的手算方法，及其數學原理的通俗解釋。
這里，我們只需要明確，二進制是存在小數形式的，且可以表示一切十進制可表示的數（的近似）。
計算機如何記錄二進制的科學計數法
接著，我們步入正題：只會表示0/1的計算機，如何記錄并表達浮點數呢？
給一個32位的空間，如果不做任何約束，我們只能將其理解為一個整數，并且其取值范圍為 。
這是因為，計算機只能記錄 0 和 1 這兩個信息，并不能直接記錄小數點點在哪里。因此，我們需要設置一定規則，取出一定位，用于表示小數點點在哪里。這必將犧牲一定的精度與取值范圍。
因此，我們將這 32 位空間分為三部分：
第一部分，用于表示 精度，即這個數字值是多少，對應上面的B；第二部分，用于表示 小數點，即量級，對應上面的C；第三部分，用于表示 正負，只需要使用1位。
在 IEEE 754 中，我們分別將上述一、二、三部分叫做尾數M，階碼E，符號s。
于是我們有了二進制的表達式：
為了表示盡可能多的、常用的小數，我們有如下需求：
對于符號位 s ，如果該位上是 0 ，則為正數；為 1 ，則為負數。 對于尾數 M ，其取值范圍為 ； 對于階碼 E ，其為一個整數，并且取值范圍應該包含負數、0、正數。
可以注意到，對于 M 、 E ，我們并不能直接用二進制表示，還需要設定一定規則。
尾數 M
假設尾數 M 一共有 f 位，則 f 可表示的整數取值范圍為 ，我們稱 f 直接對應的非負整數為 C 。為了將其投影到 ，我們做出如下變換：
解碼 E
假設解碼 E 一共有 e 位，則 e 可表示的整數取值范圍為 ，我們稱 e 直接對應的非負整數為 Exp 。我們希望 E 可以取到負數，因此做出如下變換：
這樣，我們的 E 取值范圍就來到了 。
總結
有了如上設計的規則，我們便知曉了計算機記錄浮點數的方式，以及轉換流程。以下圖為例。
知識點與例題
上面我們討論了 IEEE 754 的思想，但是并不嚴謹，比如：
正負無窮該怎么表達？ 如此表示會不會造成空間的浪費？ ...
因此，我們從數學上嚴謹地討論一道例題，考慮一下規格化浮點數。例題源自我的匯編語言筆記。
題目
給定一個浮點格式(IEEE 754)，有k位指數和n位小數，對于下列數，寫出階碼E、尾數M、小數f和值V的公式。另外，請描述其位表示。
數5.0； 能夠被準確描述的最大奇數； 最小的正規格化數。
解決
前置知識一：IEEE 754
IEEE 754約定，計算機中浮點數二進制表示為：
數字形式：
符號：s 尾數：M，是一個位于區間[1.0, 2.0)內的小數 階碼：E
編碼形式：
| s | exp | frac |
|---|
exp域：E（注意，E要進行變換，再存儲在exp中）； frac域：M。
前置知識二：規格化浮點數（Normalized）
這里討論到規格化浮點數（Normalized）：
滿足條件：exp不全為0且不全為1。 真實的階碼值需要減去一個偏置（biased）量： 單精度數：127（Exp：1...254，E：-126...127） 雙精度數：1023（Exp：1...2046，E：-1022...1023） ，e = exp的域的位數 E = Exp - Bias Exp：exp域所表示的無符號數值 Bias的取值： frac的第一位隱含1：M = 1.xxx...x_2 因此第一位的“1”可以省去，xxx...x：bits of frac Minimum when 000...0 () Maximum when 111...1 ()
前置工作一：整理變量關系
則E為
E最大值為。（為什么不是呢？因為有規定：exp全部取1為“非規格化浮點數”，因此規格化浮點數中exp不能全部取1，頂多為(1)*(0)）
E的最小值為。（為什么不是呢？因為有規定：exp全部取0為“非規格化浮點數”，因此規格化浮點數中exp不能全部取0，頂多為(0)*(1)）
前置工作二：總結特性
拋開例題，來看一個例子：
8位浮點數表示：exp域寬度為4 bits，frac域寬度為3 bits。則，其偏置量的值為2^(4-1) - 1 = 7. 其他規則符合IEEE 754規范。
取值范圍如下表。
| s | exp | frac | E | value |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0000 | 000 | -6 | 0 |
| 0 | 0000 | 001 | -6 | 1/8 * 1/64 = 1/512 |
| 0 | 0000 | 010 | -6 | 2/8 * 1/64 = 2/512 |
| ... | ||||
| 0 | 0000 | 110 | -6 | 6/8 * 1/64 = 6/512 |
| 0 | 0000 | 111 | -6 | 7/8 * 1/64 = 7/512 |
| 0 | 0001 | 000 | -6 | 8/8 * 1/64 = 8/512 |
| 0 | 0001 | 001 | -6 | 9/8 * 1/64 = 9/512 |
| ... | ||||
| 0 | 0110 | 110 | -1 | 14/8 * 1/2 = 14/16 |
| 0 | 0110 | 111 | -1 | 15/8 * 1/2 = 15/16 |
| 0 | 0111 | 000 | 0 | 8/8 * 1 = 1 |
| 0 | 0111 | 001 | 0 | 9/8 * 1 = 9/8 |
| 0 | 0111 | 010 | 0 | 10/8 * 1 = 10/8 |
| ... | ||||
| 0 | 1110 | 110 | 7 | 14/8 * 128 = 224 |
| 0 | 1110 | 111 | 7 | 15/8 * 128 = 240 |
| 0 | 1111 | 000 | n/a | inf |
可以看出，假設frac有f位，則M可視為：
其中，C是整數，由frac決定，即；
并且C滿足。
則浮點數V的十進制即為：
也可寫作：
其中，、分別為exp、frac位數，為常數。
解決問題一：數0.5
較為簡單，直接解決如下。
0.5 // 轉換為二進制 ==>
0.1 // 移動小數點，使其在最左邊的1之后
M = 1.0 // 小數點后的數字存儲在frac中
E = -1 // 因為是左移
frac= 0* // 共n位
exp = E + Bias
= -1 + (2^(e-1) - 1)
則，位的描述為：
| s | exp | frac |
|---|---|---|
| 0 | bin(-1 + (2^(e-1) - 1)) | 00....(共n位) |
解決問題二：能夠被準確描述的最大奇數
根據前置工作二，可以看出，對于規格化浮點數可化簡為：
現在的任務有兩個：
是整數，不能有小數（則應大于等于）； 是奇數（不是奇數，因此使為奇數，則取1，則取）。
下面分類討論：
情況一：E可以取到f時，
即時，
取，取其能取的最大奇數，對應的二進制為：
exp：dec2bin()，frac：1*（frac全為1）
情況二：E取不到f時，
這種情況不可能，因為E取不到f，則很多整數都不能表示。
解決問題三：最小的正規格化數
觀察：
則取，、分別取最小。
由前置工作一，取，取，對應的二進制為：
exp：0*1，frac：0*
后記：我第一學習浮點數是在2019年年末，當時對于浮點數的筆記和理解是有問題的。在此感謝一位湖南大學的朋友（公眾號 / CSDN：梓酥），給我發郵件，指出我的問題~
往期推薦
