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<title>黃金書屋---我的哲學(xué)的發(fā)展</title>
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<A HREF="index.html">我的哲學(xué)的發(fā)展</A>
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<CENTER><B><FONT FACE="楷體_GB2312"><FONT COLOR="#FF6666"><FONT SIZE=5>第六章 數(shù)學(xué)中的邏輯技巧</FONT></FONT></font></B></CENTER>
<center><HR WIDTH="85%"></CENTER>
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<table border="0">
<tr>
<td><pre><span class="swy1"> 我認(rèn)為大學(xué)中有院系之分是必要的，但其結(jié)果是很不幸的。邏輯被人看做是哲學(xué)的
一個(gè)分枝，而且曾為亞里士多德所論述過(guò)，因此大家就認(rèn)為這一個(gè)科目只有熟悉希臘文
的人才能討論。結(jié)果，數(shù)學(xué)只被不懂邏輯的人所討論。自亞里士多德和歐幾里德時(shí)代到
本世紀(jì)，這種分裂是有很大的損害的。
在一九○○年巴黎開(kāi)國(guó)際哲學(xué)會(huì)的時(shí)候，我意識(shí)到邏輯改革對(duì)于數(shù)理哲學(xué)的重要性。
我是因?yàn)槁?tīng)了來(lái)自突林的皮亞諾和到會(huì)的一些別的哲學(xué)家的討論才認(rèn)識(shí)到了這一點(diǎn)。在
此以前，我不曉得他曾做過(guò)一些什么。但是我深深感到，在每項(xiàng)討論的時(shí)候，他比別人
更精確，在邏輯上更嚴(yán)密。我去見(jiàn)他，并對(duì)他說(shuō)：“我想把你所有的著作都讀一下，你
身邊有嗎？”他有。我立刻把他的著作都讀了。正是這些著作促進(jìn)了我對(duì)于數(shù)學(xué)原理有
我自己的主張。
數(shù)理邏輯并不是一個(gè)新的學(xué)科。萊布尼茨曾經(jīng)嘗試了一下，但是由于敬重亞里士多
德，而受到了阻礙。布爾在一八五四年發(fā)表了他的《思想律》，弄出來(lái)一整套計(jì)算法，
主要是講類的包含。皮爾斯曾經(jīng)開(kāi)創(chuàng)了一種關(guān)系邏輯。施勒德曾發(fā)表過(guò)一部著作，分三
大卷，概述了以前的成果。懷特海在他的《普遍代數(shù)學(xué)》的第一部分里專論布爾的計(jì)算
法。上面所說(shuō)的這些著作大多數(shù)我那時(shí)是熟悉的。但是我不覺(jué)得這些著作對(duì)于弄明白算
術(shù)的基本原理有什么幫助。正在我去巴黎之前我關(guān)于這一個(gè)題目所寫的文章的原稿，我
現(xiàn)在還有，我現(xiàn)在又把它讀了一遍，我發(fā)現(xiàn)，關(guān)于算術(shù)對(duì)于邏輯所提出來(lái)的問(wèn)題，這篇
文章連初步的解決都沒(méi)有做到。
皮亞諾所給我的啟發(fā)主要是來(lái)自兩個(gè)純乎是技術(shù)上的進(jìn)步。如果一個(gè)人沒(méi)有象我那
樣花過(guò)若干年的時(shí)間想法了解算術(shù)，他很不容易知道這兩種進(jìn)步的重要性。這兩種進(jìn)步
都是弗雷格在更早一個(gè)時(shí)期取得的。我疑心皮亞諾未必知道這一點(diǎn)，而且我也是到后來(lái)
才知道的。雖然有困難，可是我一定盡我的能力來(lái)解釋這兩種進(jìn)步是什么，以及為什么
很重要。我先講這兩種進(jìn)步是什么。
第一種進(jìn)步是把“蘇格拉底是不免于死的”這種形式的命題和“一切希臘人是不免
于死的”這種形式的命題分開(kāi)。亞里士多德和人所共認(rèn)的關(guān)于三段論式的學(xué)說(shuō)（康德以
為這種學(xué)說(shuō)永遠(yuǎn)不能再有改進(jìn)）認(rèn)為這兩種形式的命題是沒(méi)有區(qū)別的，要不然，總也沒(méi)
有什么大的不同。但是，事實(shí)上，若看不出這兩種形式是完全不同，不論是邏輯還是算
術(shù)，都不會(huì)有長(zhǎng)足的進(jìn)展。“蘇格拉底是不免于死的”把一個(gè)賓辭加于一個(gè)是人名的主
辭上。“一切希臘人是不免于死的”表示兩個(gè)賓辭之間的關(guān)系，也就是，“希臘人”和
“不免于死”，把“一切希臘人是不免于死的”全部說(shuō)出來(lái)是，“就ｘ的一切可能有的
值來(lái)說(shuō)，如果ｘ是希臘人，ｘ是不免于死的”。這里不是一個(gè)主辭—賓辭的命題，而是
把兩個(gè)命題函項(xiàng)連結(jié)起來(lái)。如果給ｘ這個(gè)變項(xiàng)指定一個(gè)值，則兩個(gè)命題函項(xiàng)的每一個(gè)就
變成一個(gè)主辭—賓辭的命題。“一切希臘人是不免于死的”這個(gè)命題并不是單講希臘人
怎么樣，而是一個(gè)講宇宙中一切事物的命題。若ｘ是希臘人，“如果ｘ是希臘人，ｘ就
是不免于死的”這個(gè)命題固然能夠成立，若是ｘ不是希臘人，這個(gè)命題也一樣能夠成立。
實(shí)在說(shuō)來(lái)，即使希臘人完全不存在，這個(gè)命題也能成立。“一切小人國(guó)的人是不免于死
的”是能成立的，雖則小人國(guó)的人是不存在的。“一切希臘人是不免于死的”之所以不
同于“蘇格拉底是不免于死的”這個(gè)命題，是它并沒(méi)有指明哪一個(gè)人，而僅僅是表示賓
辭與賓辭的連結(jié)。它之能夠成立不能用枚舉來(lái)證明，因?yàn)椋ㄔ僬f(shuō)一遍）所說(shuō)的這個(gè)ｘ并
不限于是希臘人的那些ｘ，而是及于全宇宙。但是，雖然這個(gè)命題不能用枚舉來(lái)證明，
卻能為人所理解。我不知道是否有長(zhǎng)翅膀的馬，這樣的馬我確是從來(lái)沒(méi)有見(jiàn)過(guò)，但是我
卻可以知道一切長(zhǎng)翅膀的馬都是馬。總而言之，凡含有“一切”這兩個(gè)字的命題都是包
含命題函項(xiàng)的命題，但是并不包含這些函項(xiàng)的任何特殊的值。
我從皮亞諾聽(tīng)到的第二個(gè)重要的進(jìn)步是，由一個(gè)項(xiàng)所成的一個(gè)類和那個(gè)項(xiàng)并不相等。
例如，“地球的衛(wèi)星”是一個(gè)類，它只有一個(gè)項(xiàng)，就是，月亮。但是把一個(gè)類和它僅有
的項(xiàng)等同起來(lái)，就在集合的邏輯里引起完全無(wú)法解決的問(wèn)題來(lái)，因此在數(shù)的邏輯里也引
起完全無(wú)法解決的問(wèn)題來(lái)，因?yàn)閿?shù)所適用的是集合。一經(jīng)指出，就很容易明白把“地球
的衛(wèi)星”和月亮等同是不適當(dāng)?shù)摹Ｈ绻l(fā)現(xiàn)地球有第二個(gè)衛(wèi)星，“地球的衛(wèi)星”這個(gè)短
語(yǔ)不會(huì)改變它的意義；對(duì)于一個(gè)懂天文學(xué)卻不知道地球有一個(gè)衛(wèi)星的人，這個(gè)短語(yǔ)也不
會(huì)缺乏意義。從另一方面說(shuō)，如果我們可以把“月亮”當(dāng)做一個(gè)名稱，關(guān)于月亮的命題，
除了對(duì)于那些曉得月亮的人以外是沒(méi)有意義的。對(duì)于不曉得月亮的人如果不解釋“月亮”
就等于“地球唯一的衛(wèi)星”這個(gè)短語(yǔ)，“月亮”不過(guò)是一個(gè)沒(méi)有意義的聲音罷了；
如果這個(gè)解釋被代替了，關(guān)于月亮的命題就沒(méi)有我們說(shuō)：“今天晚上月亮亮”的時(shí)
候在你和我看來(lái)所具的意義。一個(gè)人不用描寫，他是把概念連結(jié)到一起，不是和感覺(jué)世
界直接相接觸。一個(gè)人說(shuō)：“月亮亮”，他卻是和感覺(jué)世界直接相接觸。關(guān)于這一點(diǎn)，
我們現(xiàn)在所討論的這個(gè)區(qū)別，和前面我們所說(shuō)“蘇格拉底是不免于死的”跟“一切希臘
人是不免于死的”之間的分別，有些相似。
讀者說(shuō)不定會(huì)以為，上邊的那些區(qū)別不過(guò)是學(xué)究的裝腔做勢(shì)，賣弄學(xué)問(wèn)。我現(xiàn)在不
能不想法說(shuō)明并非如此。
弗雷格以前的作者都把算術(shù)的哲理想錯(cuò)了。他們這些人所犯的錯(cuò)誤是一個(gè)很自然的
錯(cuò)誤。他們以為數(shù)目是由數(shù)數(shù)兒得來(lái)的。他們陷入了無(wú)法解決的困境，是因?yàn)榭梢运阕?一個(gè)的東西，也一樣可以算做多。請(qǐng)以這樣一個(gè)問(wèn)題為例：“英國(guó)有多少足球俱樂(lè)部？”
在回答這一個(gè)問(wèn)題的時(shí)候，你把每一個(gè)俱樂(lè)部當(dāng)做一，但是你也一樣可以問(wèn)：“某某足
球俱樂(lè)部有多少會(huì)員？”那樣，你就把這個(gè)俱樂(lè)部當(dāng)做多了。而且，如果甲先生是這些
俱樂(lè)部之一的一個(gè)會(huì)員，雖然他原先算做一，你這樣問(wèn)也一樣正當(dāng)：“甲先生是由多少
分子而成的？”那么，甲先生就算是多。所以，顯而易見(jiàn)，從計(jì)算的觀點(diǎn)來(lái)說(shuō)，使什么
東西之為一，不是這件東西的物質(zhì)構(gòu)造，而是“這是什么的一個(gè)具體例子？”這個(gè)問(wèn)題。
你從計(jì)算所得來(lái)的數(shù)目是某種集體的數(shù)目。在你數(shù)這個(gè)集體以前，它無(wú)論什么數(shù)目都有。
只是按某種東西的許多實(shí)例來(lái)說(shuō)，這個(gè)集體才是多。這個(gè)集體又是另一種東西的一個(gè)實(shí)
例，在數(shù)數(shù)目的時(shí)候是按實(shí)例來(lái)說(shuō)算做一。這樣我們就不得不面向這一個(gè)問(wèn)題：“一個(gè)
集體是什么？”和“一個(gè)實(shí)例是什么？”若是不用命題函項(xiàng)，二者都無(wú)法理解。一個(gè)命
題函項(xiàng)就是一個(gè)式子，其中包含一個(gè)變項(xiàng)，一旦給這個(gè)變項(xiàng)定一個(gè)值，這個(gè)式子就成了
一個(gè)命題。舉例來(lái)說(shuō)，“ｘ是一個(gè)人”是一個(gè)命題函項(xiàng)。如果我們用蘇格拉底或柏拉圖
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