或任何別的人來代替ｘ，我們就得到一個命題。我們也可以用一個什么不是人的東西來
代替ｘ，我們仍然得到一個命題，雖然按這一個例子來說這個命題是不能成立的。一個
命題函項僅是一個式子而已。它本身并不能表示任何東西。它可以作一句話的一部分，
這句話確有所斷定，能成立或不能成立：“ｘ是一個使徒”是沒有意義的。但是“ｘ有
十二個值，因此‘ｘ是一個使徒’是能成立的”是一個完整的句子。類似的話也可以用
于實例這個概念。我們把某種東西當做一個實例的時候，我們是把它當做一個命題函項
里一個變項的一個可能有的值。如果我說：“蘇格拉底是人的一個實例”，我的意思是
說，蘇格拉底是ｘ的一個值，因此“ｘ是一個人”是能成立的。經院哲學家有一句格言，
意思是說，一和存在是同義語。這句格言只要大家信以為真，就沒有法子把１的意義弄
明確。事實的真相是，存在是一個沒有用處的字。而且，誤用這個字的人應用這個字所
應用到的那種事物既可以是一，也往往可以是多。·一不是事物的一個特征，而是某些
命題函項的一個特征，就是說，有以下這種特性的那些命題函項：有一個ｘ使這個函項
為真，而且這個ｘ是這樣，如果ｙ使這個函項為真，ｙ就和ｘ是同一的。這是一元函數
的定義。１這個數目是一元的特性，這種特性是為某些函數所具有的。同樣，零函數是
一個對于ｘ的所有的值來說都是錯誤的函數，成為一個零函數，其特性是０。
    關于數的那些舊的學說，到０和１以上，總是遇到困難。
    最初使我得到很深的印象的是皮亞諾對付這些困難的本領。
    但是須待很多年之后我才得到這個新觀點的全部結論。在數學中想出“類”來是方
便的。有一個長的時期，我以為把類和命題函項加以區別是必須的。可是，我最后得到
的結論是，除非是一種技術上的手段，這種區別是不必要的。“命題函項”這種話聽起
來也許可怕，卻無怕的必要。有很多時候我們可以用“特性”這個字來代替。所以我們
可以說，每個數是某些特性的一種特性。但是，除了做最后的分析，繼續用“類”這個
字也許更容易一些。
    以上所說的理由使我得出來的關于數的定義，弗雷格已先于我十六年就得出來了。
但是關于這一點，我是在我重新發現這個定義大約一年以后才知道的。我對于２所下的
定義是一切雙的類，３是一切三個一組的類，等等。一雙的定義是一個類，這個類有ｘ
項和ｙ項，ｘ和ｙ不等同，并且，如果ｚ是這一個類的一項，ｚ就和ｘ或ｙ相等。一般
說來，一個數就是一組的類，這一組類有一種特性，這種特性叫做“相似”。
    這可以有如下的界說：如果有一種方法把兩個類的項一對一地配合起來，這兩個類
就是相似。舉例來說，在一個一夫一妻制的國家里，你可以知道結了婚的男人的數目是
和結了婚的女子的數目相同，用不著知道二者究竟有多少（我是把寡婦和鰥夫除外）。
還有，如果一個人沒有殘缺一條腿，你大概可以確實知道他右腳鞋的數目和他左腳鞋的
數目是一樣的。
    在一次聚會中，如果每人都有一把椅子坐，并且沒有空著的椅子，那么椅子的數目
就必是和坐椅子的人的數目是一樣的。
    在這些例子中，一類里的那些項和另一類里的那些項之間有所謂一對一的關系。相
似正是這種一對一關系的存在的定義。
    任何類的數可以說就是所有與它相似的那些類。
    這個定義有多方面的長處。它能應付所有從前關于０和１所發生的問題。０就是沒
有項的那些類的類，也就是說，它是一個類，其唯一的項是一個沒有項的類。１是一些
類的類，那些類的特性是，它們是由與一個ｘ項相等的任何東西而成的。這個定義的第
二個長處是，它克服了關于一和多的困難。
    因為所計算的項是按一個命題函項的實例來計算的，所含的一只是命題函項的一。
這個命題函項的一決不和實例的多相抵觸。但是比這兩個長處更重要的是，我們就不把
數當做形而上學上的實體了。事實上，數就只成了語言上的便利，不比“等等”或“即”
更有內容。克羅耐克研究數學的哲理，說：
    “上帝造了整數，數學家們造了其余的數學裝置”。他這話的意思是說，每個整數
必須有一個獨立的存在，但是別類的數就不必這樣。有了前面的關于數的定義，整數的
這個特權就消失了。數學家的根本的器具就化為·或、不、一切、一些等這樣一些純粹
是邏輯上的名辭了。在知識的一個部門里所需要的那些意義不明確的術語和未經證明的
命題，我把它們的數目消減了，這是我第一次感到奧卡姆剃刀的用處。
    上面關于數的那個定義還有一個長處，是極其重要的。那就是，這個定義掃除了關
于無限數的困難。只要數是由把項數一數得來的，那就不容易想象一次不能數完的一些
集團的數目。舉例來說，你不能把有限數數完。無論你數多么久，后面總還有更大的數。
所以，只要數是從數數兒得來的，似乎談有限數的數目就是不可能的。可是似乎數數目
只是知道一個集體里有多少項的一種方法而已，并且只能用于那些有限的集體。應合這
個新學說的數數目的邏輯是這樣：例如，假定你是數金鎊鈔票。你心里努一把力量，使
這幾張鈔票和１，２，３等數目之間有一對一的關系，直到數完鈔票為止。按照我們的
定義，你就知道，鈔票的數目是和你念過的數目一樣。
    而且，如果你是從１開始的，并且這樣下去沒有遺漏，你念過的那些數目的那一個
數目是你念過的最后的那個數目。這個辦法你不能用于無限的集體，因為人生是不夠長
的。但是，因為數數目再也不重要了，你也就用不著關心了。
    既已把整數象以上作了界說，就沒有困難引伸其義以應數學的需要。有理分數是來
自乘法的整數之間的比數。實數是一組一組的有理數，這些有理數是由零以上一直到某
點所有的東西而成。舉例來說，二的平方根是所有平方少于二的那些有理數。我相信我
是這個定義的發明者。它解決了一個謎，對于這個謎，自從畢達哥拉斯那個時代以來所
有的數學家都沒有辦法。復素數可以看成是成雙的實數，所取“雙”的意義是，其中有
一個第一項和一個第二項，也就是說，其中項的次序是很重要的。
    除了我所提到的事項以外，在皮亞諾和他的門徒的工作中還有一些東西使我喜歡。
我喜歡他們不用圖形發展幾何學的方法，這樣就表示康德的直觀是用不著的。我也喜歡
皮亞諾的曲線，這個曲線普及于一整個范圍。在我遇到皮亞諾以前，我已經充分知道關
系的重要性。所以我立刻就著手用符號處置關系邏輯，以補充皮亞諾所做的工作。我是
在七月之末遇見他的。在九月里我寫了一篇文章討論關系的邏輯，發表在他的學報里。
我把同一年的十月、十一月和十二月用于撰寫《數學的原理》。現在那本書的第三、第
四、第五和第六部分和我在那幾個月所寫的幾乎完全是一樣的。可是，第一、第二和第
七部分我后來又重新寫過。我在十九世紀的最后一天，也就是一九○○年的十二月三十
一日，寫完《數學的原理》的初稿。那年六月以后的幾個月是我智力活動的蜜月，無論
在此以前或在此以后，我都不曾嘗到過。每天我都發現我懂得了一些前一天不曾懂得的
東西。我以為一切困難都解決了，一切問題都結束了。但是這個蜜月沒有能持久。第二
年的年初，智力活動上的悲哀充分地降到了我的頭上。
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