關于二十四點游戲的編程思路與基本算法


　　漫長的假期對于我來說總是枯燥無味的，閑來無聊便和同學玩起童年時經常玩的二十四點牌游戲來。此游戲說來簡單，就是利用加減乘除以及括號將給出的四張牌組成一個值為24的表達式。但是其中卻不乏一些有趣的題目，這不，我們剛玩了一會兒，便遇到了一個難題——3、6、6、10（其實后來想想，這也不算是個太難的題，只是當時我們的腦筋都沒有轉彎而已，呵呵）。

　　問題既然出現了，我們當然要解決。冥思苦想之際，我的腦中掠過一絲念頭——何不編個程序來解決這個問題呢？文曲星中不就有這樣的程序嗎？所以這個想法應該是可行。想到這里我立刻開始思索這個程序的算法，最先想到的自然是窮舉法（后來發現我再也想不到更好的方法了，悲哀呀，呵呵），因為在這學期我曾經寫過一個小程序——計算有括號的簡單表達式。只要我能編程實現四個數加上運算符號所構成的表達式的窮舉，不就可以利用這個計算程序來完成這個計算二十四點的程序嗎？確定了這個思路之后，我開始想這個問題的細節。 
首先窮舉的可行性問題。我把表達式如下分成三類——
1、 無括號的簡單表達式。
2、 有一個括號的簡單表達式。
3、 有兩個括號的較復4、 雜表達式。
窮舉的開始我對給出的四個數進行排列，其可能的種數為4*3*2*1=24。我利用一個嵌套函數實現四個數的排列，算法如下:
/* ans[] 用來存放各種排列組合的數組 */
/* c[] 存放四張牌的數組 */
/* k[] c[]種四張牌的代號，其中k[I]=I+1。
用它來代替c[]做處理，考慮到c[]中有可能出現相同數的情況 */
/* kans[] 暫存生成的排列組合 */
/* j 嵌套循環的次數 */
int fans(c,k,ans,kans,j)
int j,k[],c[];char ans[],kans[];
{ int i,p,q,r,h,flag,s[4],t[4][4];
for(p=0,q=0;p<4;p++)
{ for(r=0,flag=0;r if(k[p]!=kans[r]) flag++;
if(flag==j) t[j][q++]=k[p];
}
for(s[j]=0;s[j]<4-j;s[j]++)
{ kans[j]=t[j][s[j]];
if(j==3) { for(h=0;h<4;h++)
ans[2*h]=c[kans[h]-1]; /* 調整生成的排列組合在最終的表
達式中的位置 */
for(h=0;h<3;h++)
symbol(ans,h); /* 在表達式中添加運算符號 */
}
else { j++;
fans(c,k,ans,kans,j);
j--;
}
}
}

　　正如上面函數中提到的，在完成四張牌的排列之后，在表達式中添加運算符號。由于只有四張牌，所以只要添加三個運算符號就可以了。由于每一個運算符號可重復，所以計算出其可能的種數為4*4*4=64種。仍然利用嵌套函數實現添加運算符號的窮舉，算法如下:

/* ans[],j同上。sy[]存放四個運算符號。h為表達式形式。*/
int sans(ans,sy,j,h)
char ans[],sy[];int j,h;
{ int i,p,k[3],m,n; char ktans[20];
for(k[j]=0;k[j]<4;k[j]++)
{ ans[2*j+1]=sy[k[j]]; /* 剛才的四個數分別存放在0、2、4、6位
這里的三個運算符號分別存放在1、3、5位*/ 
if(j==2)
{ ans[5]=sy[k[j]];
/* 此處根據不同的表達式形式再進行相應的處理 */
}
else { j++; sans(ans,sy,j--,h); }
}
}

　　好了，接下來我再考慮不同表達式的處理。剛才我已經將表達式分為三類，是因為添加三個括號對于四張牌來說肯定是重復的。對于第一種，無括號自然不用另行處理；而第二種情況由以下代碼可以得出其可能性有六種，其中還有一種是多余的。
for(m=0;m<=4;m+=2)
for(n=m+4;n<=8;n+=2)
　　這個for循環給出了添加一個括號的可能性的種數，其中m、n分別為添加在表達式中的左右括號的位置。我所說的多余的是指m=0，n=8，也就是放在表達式的兩端。這真是多此一舉，呵呵！最后一種情況是添加兩個括號，我分析了一下，發現只可能是這種形式才不會是重復的——（a b）(c d)。為什么不會出現嵌套括號的情況呢？因為如果是嵌套括號，那么外面的括號肯定是包含三個數字的（四個沒有必要），也就是說這個括號里面包含了兩個運算符號，而這兩個運算符號是被另外一個括號隔開的。那么如果這兩個運算符號是同一優先級的，則肯定可以通過一些轉換去掉括號（你不妨舉一些例子來試試），也就是說這一個括號沒有必要；如果這兩個運算符號不是同一優先級，也必然是這種形式((a+-b)*/c)。而*和/在這幾個運算符號中優先級最高，自然就沒有必要在它的外面添加括號了。

　　綜上所述，所有可能的表達式的種數為24*64*（1+6+1）=12288種。哈哈，只有一萬多種可能性（這其中還有重復），這對于電腦來說可是小case喲！所以，對于窮舉的可行性分析和實現也就完成了。


　　接下來的問題就是如何對有符號的簡單表達式進行處理。這是棧的一個著名應用，那么什么是棧呢？棧的概念是從日常生活中貨物在貨棧種的存取過程抽象出來的，即最后存放入棧的貨物（堆在靠出口處）先被提取出去，符合“先進后出，后進先出”的原則。這種結構猶如子彈夾。
在棧中，元素的插入稱為壓入（push）或入棧，元素的刪除稱為彈出（pop）或退棧。

　　棧的基本運算有三種，其中包括入棧運算、退棧運算以及讀棧頂元素，這些請參考相關數據結構資料。根據這些基本運算就可以用數組模擬出棧來。

　　那么作為棧的著名應用，表達式的計算可以有兩種方法。

　　第一種方法——
　　首先建立兩個棧，操作數棧OVS和運算符棧OPS。其中，操作數棧用來記憶表達式中的操作數，其棧頂指針為topv，初始時為空，即topv=0；運算符棧用來記憶表達式中的運算符，其棧頂指針為topp，初始時，棧中只有一個表達式結束符，即topp=1，且OPS（1）=‘；’。此處的‘；’即表達式結束符。
　　然后自左至右的掃描待處理的表達式，并假設當前掃描到的符號為W，根據不同的符號W做如下不同的處理：
1、 若W為操作數
2、 則將W壓入操作數棧OVS
3、 且繼續掃描下一個字符
4、 若W為運算符
5、 則根據運算符的性質做相應的處理：
(1)、若運算符為左括號或者運算符的優先級大于運算符棧棧頂的運算符(即OPS(top)),則將運算符W壓入運算符棧OPS，并繼續掃描下一個字符。
(2)、若運算符W為表達式結束符‘；’且運算符棧棧頂的運算符也為表達式結束符（即OPS(topp)=’;’），則處理過程結束，此時，操作數棧棧頂元素（即OVS（topv））即為表達式的值。
(3)、若運算符W為右括號且運算符棧棧頂的運算符為左括號（即OPS（topp）=’(‘)，則將左括號從運算符棧談出，且繼續掃描下一個符號。
(4)、若運算符的右不大于運算符棧棧頂的運算符（即OPS(topp)），則從操作數棧OVS中彈出兩個操作數，設先后彈出的操作數為a、b，再從運算符棧OPS中彈出一個運算符，設為+，然后作運算a+b,并將運算結果壓入操作數棧OVS。本次的運算符下次將重新考慮。

　　第二種方法——
　　首先對表達式進行線性化，然后將線性表達式轉換成機器指令序列以便進行求值。

　　那么什么是表達式的線性化呢？人們所習慣的表達式的表達方法稱為中綴表示。中綴表示的特點是運算符位于運算對象的中間。但這種表示方式，有時必須借助括號才能將運算順序表達清楚，而且處理也比較復雜。

　　 1929年，波蘭邏輯學家Lukasiewicz提出一種不用括號的邏輯符號體系，后來人們稱之為波蘭表示法（Polish notation）。波蘭表達式的特點是運算符位于運算對象的后面，因此稱為后綴表示。在對波蘭表達式進行運算，嚴格按照自左至右的順序進行。下面給出一些表達式及其相應的波蘭表達式。
表達式 波蘭表達式
A-B AB-
（A-B）*C+D AB-C*D+
A*（B+C/D）-E*F ABCD/+*EF*-
（B+C）/（A-D） BC+AD-/

　　OK，所謂表達式的線性化是指將中綴表達的表達式轉化為波蘭表達式。對于每一個表達式，利用棧可以把表達式變換成波蘭表達式，也可以利用棧來計算波蘭表達式的值。

　　至于轉換和計算的過程和第一種方法大同小異，這里就不再贅述了。

　　下面給出轉換和計算的具體實現程序——

/* first函數給出各個運算符的優先級，其中=為表達式結束符 */
int first(char c)
{ int p;
switch(c)
{ case '*': p=2; break;
case '/': p=2; break;
case '+': p=1; break;
case '-': p=1; break;
case '(': p=0; break;
case '=': p=-1; break;
}
return(p);
}
/* 此函數實現中綴到后綴的轉換 */
/* M的值宏定義為20 */
/* sp[]為表達式數組 */
int mid_last()
{ int i=0,j=0; char c,sm[M];
c=s[0]; sm[0]='='; top=0;
while(c!='\0')
{ if(islower(c)) sp[j++]=c;
else switch(c)
{ case '+':
case '-':
case '*':
case '/': while(first(c)<=first(sm[top]))
sp[j++]=sm[top--];
sm[++top]=c; break;
case '(': sm[++top]=c; break;
case ')': while(sm[top]!='(')
sp[j++]=sm[top--];
top--; break;
default :return(1);
}
c=s[++i];
}
while(top>0) sp[j++]=sm[top--];
sp[j]='\0'; return(0);
}
/* 由后綴表達式來計算表達式的值 */
int calc()
{ int i=0,sm[M],tr; char c;
c=sp[0]; top=-1;
while(c!='\0')
{ if(islower(c)) sm[++top]=ver[c-'a'];/*在轉換過程中用abcd等來代替數，
這樣才可以更方便的處理非一位數， 
ver數組中存放著這些字母所代替的數*/
else switch(c)
{ case '+': tr=sm[top--]; sm[top]+=tr; break;
case '-': tr=sm[top--]; sm[top]-=tr; break;
case '*': tr=sm[top--]; sm[top]*=tr; break;
case '/': tr=sm[top--];sm[top]/=tr;break;
default : return(1);
}
c=sp[++i];
}
if(top>0) return(1);
else { result=sm[top]; return(0); }
}

　　這樣這個程序基本上就算解決了，回過頭來拿這個程序來算一算文章開始的那個問題。哈哈，算出來了，原來如此簡單——（6-3）*10-6=24。

　　最后我總結了一下這其中容易出錯的地方——

　　1、 排列的時候由于一個數只能出現一次， 所以必然有一個判斷語句。但是用什么來判斷，用大小顯然不行，因為有可能這四個數中有兩個或者以上的數是相同的。我的方法是給每一個數設置一個代號，在排列結束時，通過這個代號找到這個數。

　　2、在應用嵌套函數時，需仔細分析程序的執行過程，并對個別變量進行適當的調整（如j的值）,程序才能正確的執行。

　　3、在分析括號問題的時候要認真仔細，不要錯過任何一個可能的機會，也要盡量使程序變得簡單一些。不過我的分析可能也有問題，還請高手指點。 

　　4、在用函數對一個數組進行處理的時候，一定要注意如果這個數組還需要再應用，就必須將它先保存起來，否則會出錯，而且是很嚴重的錯誤。

　　5、在處理用戶輸入的表達式時，由于一個十位數或者更高位數是被分解成各位數存放在數組中，所以需對它們進行處理，將它們轉化成實際的整型變量。另外，在轉化過程中，用一個字母來代替這個數，并將這個數存在一個數組中，且它在數組中的位置和代替它的這個字母有一定的聯系，這樣才能取回這個數。

　　6、由于在窮舉過程難免會出現計算過程中有除以0的計算，所以我們必須對calc函數種對于除的運算加以處理，否則程序會因為出錯而退出（Divide by 0）。

　　7、最后一個問題，本程序尚未解決。對于一些比較著名的題目，本程序無法解答。比如說5、5、5、1或者8、8、3、3。這是由于這些題目在計算的過程用到了小數，而本程序并沒有考慮到小數。

　　最后，由于此文檔并沒有在寫程序的同時完成，所以難免因為記憶的差錯和小弟水平的不足而有不少錯誤，還望各位批評指正；或者你認為我寫得還不夠清楚，你也可以給我來信討論。