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<title>shangdaishu</title>
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<table width="100%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0">
<tr>
<td>
<p style="line-height: 150%" align="center"><font size="2" >商 代 數</font></p>
<p style="line-height: 150%"> 對于<a href="content-6-1-1.htm#content-6-1-1-daishuxitong">代數系統</a>，可以按類似于在集合中利用<a href="content-4-5-1.htm#content-4-2-1-dengjiaguanxi">等價關系</a>構造<a href="content-4-5-3.htm#content-4-2-3-shangji">商集</a>那樣由等價關系來構造其商代數，但是并非任何等價關系都可用于構造商代數。能構造商代數的等價關系還必須滿足另一個性質。即所謂的代換性質。</p>
<p style="line-height: 150%"> 代換性質<br>
給定<a href="content-6-1-1.htm#content-6-1-1-daishuxitong">代數系統</a>
<X,*>，其中的 * 是集合 X 中的<a href="content-5-5-1.htm#content-5-5-1-eryuanyunsuan">二元運算</a>，設
E 是集合 X 中的一種<a href="content-4-5-1.htm#content-4-2-1-dengjiaguanxi">等價關系</a>，若對于任何<img src="image/x1.GIF" width="11" height="11">，<img src="image/x2.GIF" width="12" height="11"><img src="image/shuyu.gif" width="13" height="11">X，<img src="image/y1.GIF" width="22" height="29">，<img src="image/y2.GIF" width="23" height="29"><img src="image/shuyu.gif" width="13" height="11">X，都有：<br>
（<img src="image/x1.GIF" width="11" height="11">
E<img src="image/x2.GIF" width="12" height="11">
）<img src="image/hequ.gif" width="9" height="11">
（<img src="image/y1.GIF" width="22" height="29">
E<img src="image/y2.GIF" width="23" height="29">
）<img src="image/tuichu.gif" width="15" height="9">（<img src="image/x1.GIF" width="11" height="11">*<img src="image/y1.GIF" width="22" height="29">
） E（<img src="image/x2.GIF" width="12" height="11">*<img src="image/y2.GIF" width="23" height="29">）<br>
則稱對于運算 * 等價關系 E 具有代換性質。</p>
<p style="line-height: 150%">由代換性質性質可以定義同余關系。 </p>
<p style="line-height: 150%"><br>
<a name="content-6-2-4-tongyuguanxi"></a>同余關系<br>
給定<a href="content-6-1-1.htm#content-6-1-1-daishuxitong">代數系統</a>
U=<X,*>，并且 E 是集合 X 中的<a href="content-4-5-1.htm#content-4-2-1-dengjiaguanxi">等價關系</a>，于是，對于<a href="content-5-5-1.htm#content-5-5-1-eryuanyunsuan">二元運算</a>
*，如果等價關系 E 具有代換性質，則稱 E 是代數系統 U 中的同余關系，與此相對應，稱等價關系 E 的等價類是同余類。</p>
<p style="line-height: 150%">下面的定理給出了一個定義同余關系的途徑。<br>
定理 ：給定<a href="content-6-1-1.htm#content-6-1-1-daishuxitong">代數系統</a>
U=<X,<img src="image/juhao.GIF" width="8" height="13">>
和 V=<Y,*>，其中的 <img src="image/juhao.GIF" width="8" height="13">
和 * 都是<a href="content-5-5-1.htm#content-5-5-1-eryuanyunsuan">二元運算</a>。設映射
f:X<img src="image/dao.GIF" width="15" height="9">Y
是從 U 到 V 的<a href="content-6-2-3.htm#content-6-2-3-tongtai">同態</a>。于是，對應于同態
f，能夠定義一個代數系統 U 中的關系 E，亦即對于任何元素 <img src="image/x1.GIF" width="11" height="11">,<img src="image/x2.GIF" width="12" height="11"><img src="image/shuyu.gif" width="13" height="11">X
都有：<br>
<img src="image/x1.GIF" width="11" height="11">E<img src="image/x2.GIF" width="12" height="11"><img src="image/dengjia.gif" width="17" height="9">f(<img src="image/x1.GIF" width="11" height="11">)=f(<img src="image/x2.GIF" width="12" height="11">)<br>
則關系 E 必定是 U 中的同余關系。 </p>
<p style="line-height: 150%">基于同余關系，可以如下構造商代數。 </p>
<p style="line-height: 150%"><br>
商代數 <br>
給定<a href="content-6-1-1.htm#content-6-1-1-daishuxitong">代數系統</a>
U=<X,<img src="image/juhao.GIF" width="8" height="13">>，其中的
<img src="image/juhao.GIF" width="8" height="13">
是一個<a href="content-5-5-1.htm#content-5-5-1-eryuanyunsuan">二元運算</a>，E
是 U 中的同余關系。試構成一個新的代數系統 W=<X/E,<img src="image/quancha.GIF">>，其中：<br>
(1)X/E={ <img src="image/%5BX%5DE.GIF" width="36" height="29">|x<img src="image/shuyu.gif" width="13" height="11">X}<br>
(2)對于 <img src="image/x1.GIF" width="11" height="11">,<img src="image/x2.GIF" width="12" height="11"><img src="image/shuyu.gif" width="13" height="11">X
來說，<img src="image/%5BX1%5DE.GIF" width="41" height="29"><img src="image/quancha.GIF"><img src="image/%5BX2%5DE.GIF" width="44" height="29">=<img src="IMAGE/%5Bx1ox2%5D.gif" width="60" height="25"> <br>
于是，稱代數系統 W 是對于關系 E 的 U 的商代數，或簡稱為商代數，并記作 U/E。 </p>
<p style="line-height: 150%">下面揭示代數系統與商代數的關系。首先定義一種映射。 </p>
<p style="line-height: 150%"> 正則映射 <br>
給定集合
X，且 E 是 X 中的一種<a href="content-4-5-1.htm#content-4-2-1-dengjiaguanxi">等價關系</a>。設從
X 到 X/E 的<a href="content-5-1-1.htm#content-5-1-1-hanshu">函數</a> g:X<img src="image/dao.GIF" width="15" height="9">X/E，對于任何
x<img src="image/shuyu.gif" width="13" height="11">X
有g(x)=<img src="image/%5BX%5DE.GIF" width="36" height="29">，于是通常稱
g 是從集合 X 到商集 X/E 的正則映射。 </p>
<p style="line-height: 150%">基于正則映射，可以定義自然同態。 </p>
<p style="line-height: 150%"> 自然同態 <br>
給定<a href="content-6-1-1.htm#content-6-1-1-daishuxitong">代數系統</a>
U=<X,<img src="image/juhao.GIF" width="8" height="13">>，其中的
<img src="image/juhao.GIF" width="8" height="13">
是個<a href="content-5-5-1.htm#content-5-5-1-eryuanyunsuan">二元運算</a>。設 E
是 U 中的<a href="#content-6-2-4-tongyuguanxi">同余關系</a>，且 U 的商代數是 U/E=<X/E,<img src="image/quancha.GIF">
>，X 到 X/E 的正則映射 g:X<img src="image/dao.GIF" width="15" height="9">X/E
是 g(x)=<img src="image/%5BX%5DE.GIF" width="36" height="29">。于是，正則映射
g 是一個從 U 到 U/E 的<a href="content-6-2-3.htm#content-6-2-3-tongtai">同態</a>，這個同態稱為與
E 相關的自然同態，或簡稱為自然同態。 </p>
<p style="line-height: 150%">最后我們可以得到代數系統與商代數間的關系。 </p>
<p style="line-height: 150%"> 定理 :
給定代數系統 U=<X,<img src="image/juhao.GIF" width="8" height="13">>
和 V=<Y,*>，其中的 <img src="image/juhao.GIF" width="8" height="13">
和 * 都是二元運算。設映射 f:X<img src="image/dao.GIF" width="15" height="9">Y
是從 U 到 V 的滿同態。且 E 是 U 中的對應于 f 的同余關系，g:X<img src="image/dao.GIF" width="15" height="9">X/E
是從 U 到 U/E=<X/E,<img src="image/quancha.GIF">>
的自然同態，則在商代數 U/E 和代數系統 V 之間，存在著一個同構映射 h:X/E<img src="image/dao.GIF" width="15" height="9">Y。 </p>
</td>
</tr>
</table>
<p style="line-height: 150%" align="center"> </p>
<p style="line-height: 150%"> </p><p align="right"><b><a href="contentFrame-mulu.htm"><<back</a></b>
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