卷積碼
 卷積碼的編碼器輸入相同的符號時，輸出可能不同，因為卷積碼的編碼不僅與當前的輸入有關，而且與以前的輸入有關。下面介紹一下卷積編碼的編碼器描述方式。
 卷積碼的多項式描述，描述了卷積碼編碼器中移位寄存器與模2加法器的連接關系。如圖描述了一個輸入、兩個輸出和兩個移位寄存器的前饋卷積碼編碼器。
 卷積碼編碼器的多項式描述包含3個組成部分，分別為：
 （1）       約束長度。
 （2）       生成多項式。
 （3）       反饋連接多項式。   
 1．  約束長度
 編碼器的約束長度形成一個向量，這個向量的長度為編碼器的輸入個數，向量的元素表示存儲在每個移位寄存器中的比特數，包括前輸入比特。如上圖比特數為3。
 2．  生成多項式
 如果編碼器在K個輸入，N個輸出，那么這個碼的生成矩陣就是一個k×n的矩陣。在第i行，第j列的元素，表示第i個輸入如何影響第j個輸出的。對于一個系統反饋編碼器的系統位，它生成矩陣的項與反饋連接矢量的相應元素匹配。
 3．  反饋連接多項式
 如果描述一個帶反饋的編碼器，用戶需要一個反饋連接多項式向量。這個向量的長度為編碼器的輸入個數。向量的元素用八進制形式表示每個輸入的反饋連接。
 如果編碼器具有反饋結構，而且是系統的，那么生成多項式和反饋連接多項式相應的系統位參數一定是相同值。下圖是一個帶反饋的卷積碼編碼器框圖：
  
 卷積碼是一種有記憶的編碼，在任意給定的時間單元處，編碼器的n個輸出不僅與此時間單元的k個輸入有關，而且也與前m個輸入有關。卷積碼通常表示為：（n,k,m）
 本次仿真采用（2，1，2）卷積碼。
 性能參數如下：
 生成矩陣G：  1  0  1
               1  1  1
 編碼個數：   n=2
 信息碼個數： k=1
 約束長度：   N=m+1=3
 卷積碼的碼率： =1/2
 MATLAB源程序
 %線性時不變系統的卷積運算仿真
 function [y,ny]=conv_m(x,nx,h,nh)
 %modified convolution function
 %[y,ny]=conv_m(x,nx,h,nh)
 nyb=nx(1)+nh(1);                 %輸出序列的開始位置
 nye=nx(length(x))+nh(length(h));     %輸出序列的結束位置
 ny=[nyb:nye];y=conv(x,h);           %卷積運算
 %我們可以通過兩種方法來計算系統的輸出y(n)，并比較兩種輸
 %出是否相等來驗證上述線性時不變特性。
 %用MATLAB實現：
 n=[1:19];
 hn=ones(1,19);
 hn=hn.*(power(0.8,n));             %生成序列
 [xn1,n1]=2*impseq(0,0,20);
 [xn2,n2]=sigshift(xn1,n1,20);
 [xn3,n3]=sigshift(xn1,n1,40);
 xn2=2*xn2;
 xn3=4*xn3;
 [xn,nx]=sigadd(xn1,n1,xn2,n2);
 [xn,nx]=sigadd(xn,41,xn2,n2);        %生成序列x(n)
 [yn1,ny1]=conv_m(hn,n,xn,n4);      %同卷積方法求輸出y(n)
 stem(ny1,yn1);             
 [hn1,nh1]=sigshift(hn,n,20);          %以下用LTI性質求y(n)
 hn1=2*hn1;
 [hn2,nh2]=sigshift(hn,n,40);
 hn2=4*hn2;
 [yn2,ny2]=sigadd(hn,n,hn1,nh1);
 [yn2,ny2]=sigadd(yn2,ny2,hn2,nh2);
 stem(ny2,yn2);
 可以用以下語句來驗證兩種方法的等價：
 all(ny1==ny2)
 ans=1
 all(yn1==yn2)
 ans=1
  
 主要是對卷積特性的研究。
 運行結果所下圖所示：
  
 function output=convenc(G,k0,input)
 %output=convenc(G,k0,input) 卷積碼編碼函數
 %G  生成矩陣
 %k0 輸入碼長
 %input  輸入信源序列
 %output 輸出卷積編碼序列
  
 %+ 0..0
 if rem(length(input),k0)0
    input=[input,zeros(size(1:k0-rem(length(input),k0)))];
 end
 n=length(input)/k0;
 %G size
 if rem(size(G,2),k0)~=0
    error('Error,g is not of the right size.')
 end
 %li L,n0
 li=size(g,2)/k0;
 n0=size(g,1);
  
 %+ 0..0
 u=[zeros(size(1:(li-1)*k0)),input,zeros(size(1:(li-1)*k0))];
 %uu lie i*T,i=1,2...
 u1=u(li*k0:-1:1);
 for i=1:n+li-2
    u1=[u1,u((i+li)*k0:-1:i*k0+1)];
 end
 uu=reshape(u1,li*k0,n+li-1);
 %output reshape
 output=reshape(rem(g*uu,2),1,n0*(n+li-1));
 %output=convenc(g,k0,input)卷積碼編碼函數
  
 %卷積碼的維特比譯碼函數
 function [decoder_output,survivor_state,cumulated_metric]=viterbi(G,k,channel_output)
 %VITERBI        卷積碼的維特比解碼器
 %[decoder_ouput,survivor_state,cumulated_metric]=viterbi(G,k,channel_output)
 %               G是一個n*Lk矩陣，該矩陣的每一行確
 %               定了從移位記錯器到第n個輸出間的連接，
 %               是碼速率。
 %               survivor_state是表示通過網絡的最佳路徑的矩陣。
 %               量度在另一個函數metric（x,y）中給出，而且可根據
 %               硬判決和軟判決來指定。
 %               該算法最小化了量度而不是最大化似然
 n=size(G,1);    %取出矩陣G的一維大小，即得出輸出端口
     %   檢查大小
 if rem(size(G,2),k)~=0      %當G列數不是k的整數倍時
    error('Size of G and k do not agree')    %發出出錯信息
 end
 if rem(size(channel_output,2),n)~=0         %當輸出量元素個數不是輸出端口的整數倍時
    error('Channel output not of the right size')    %發出出錯信息
 end
 L=size(G,2)/k;          %得出移位數，即寄存器的個數
     %       由于L-1個寄存器的狀態即可表示出輸出狀態，
     %       所以總的狀態數number_of_states可由前L-1個
     %       寄存器的狀態組合來確定
 number_of_states=2^((L-1)*k);
     %   產生狀態轉移矩陣、輸出矩陣和輸入矩陣
 for j=0:number_of_states-1      %j表示當前寄存器組的狀態因為狀態是從零
                                     %開始的,所以循環從0到number_of_states-1
                               
       for l=0:2^k-1              %l為從k個輸入端的信號組成的狀態，總的狀
                                      %態數為2^k，所以循環從0到2^k-11
                                     
       %  nxt_stat完成從當前的狀態和輸入的矢量得出下寄存器組的一個狀態
       [next_state,memory_contents]=nxt_stat(j,l,L,k);
             % input數組值是用于記錄當前狀態到下一個狀態所要的輸入信號矢量
       %  input數組的維數：    一維坐標x=j+1指當前狀態的值
       %                      二維坐標y=next_state+1指下一個狀態的值
       %  由于Matlab中數組的下標是從1開始的，而狀態值
       %  是從0開始的，所以以上坐標值為:狀態值+1
       input(j+1,next_state+1)=l; 
       %  branch_output用于記錄在狀態j下輸入l時的輸出
       branch_output=rem(memory_contents*G',2);
       %  nextstate數組記錄了當前狀態j下輸入l時的下一個狀態
       nextstate(j+1,l+1)=next_state;
       %  output數組記錄了當前狀態j下輸入l時的輸出（十進制）
       output(j+1,l+1)=bin2deci(branch_output);
    end
 end
 %       state_metric數組用于記錄譯碼過程在每狀態時的漢明距離
 %       state_metric大小為number_of_states2，（:,1）當前
 %       狀態位置的漢明距離，為確定值，而（:,2）為當前狀態加輸入
 %       得到的下一個狀態漢明距離，為臨時值
 state_metric=zeros(number_of_states,2);
 %       depth_of_trellis用于記錄網格圖的深度
 depth_of_trellis=length(channel_output)/n;
 %       輸出矩陣，每一列為一個輸出狀態
 channel_output_matrix=reshape(channel_output,n,depth_of_trellis);
 %       survivor_state描述譯碼過程中在網格圖中的路徑
 survivor_state=zeros(number_of_states,depth_of_trellis+1);
 %開始無尾信道輸出的解碼
 for i=1:depth_of_trellis-L+1    %i指示網格圖的深度
    %    flag矩陣用于記錄網格圖中的某一列是否被訪問過
    flag=zeros(1,number_of_states);
    if i=L
       step=2^((L-i)*k);      %在網格圖的開始處，并不是所有的狀態都取
    else                         %用step來說明這個變化
       step=1;                    %狀態數從1→2→4→...→number_of_states
    end
    for j=0:step:number_of_states-1      %j表示寄存器的當前狀態
       for l=0:2^k-1                  %l為當前的輸入
          branch_metric=0;        %用于記錄碼間距離
          %       將當前狀態下輸入狀態l時的輸出output轉為n位二進制，以便
          %       計算碼間距離（說明：數組坐標大小變化同上）。
          binary_output=deci2bin(output(j+1,l+1),n);
          %       計算實際的輸出碼同網格圖中此格某種輸出的碼間距離
          for ll=1:n
             branch_metric=branch_metric+metric(channel_output_matrix(ll,i),binary_output(ll));
          end
          %       選擇碼間距離較小的那條路徑
          %       選擇方法：
          %               當下一個狀態沒有被訪問時就直接賦值，否則，用比它小的將其覆蓋
          if((state_metric(nextstate(j+1,l+1)+1,2)state_metric(j+1,1)...
                +branch_metric)|flag(nextstate(j+1,l+1)+1)==0)
             % 下一個狀態的漢明距離（臨時值）=當前狀態的漢明距離（確定值）+ 碼間距離
             state_metric(nextstate(j+1,l+1)+1,2)=state_metric(j+1,1)+branch_metric;
             % survivor_state數組的一維坐標為下一個狀態值，二維坐標為此狀態
             % 在網格圖中的列位置，記錄的數值為當前狀態，這樣就可以從網格圖中
             % 某位置的某個狀態得出其對應上一個列位置的狀態，從而能很方便的完
             % 成譯碼過程。
             survivor_state(nextstate(j+1,l+1)+1,i+1)=j;
             flag(nextstate(j+1,l+1)+1)=1;     %指示該狀態已被訪問過
          end
       end
    end