>> limit(x/abs(x), x, 0, ’left’) ans = -1

>> limit(x/abs(x),x, 0, ’right’) ans = 1

　

2、導(dǎo)數(shù)

格式： diff (f,t,n)

功能： 求函數(shù)f 對(duì)變量 t的n 階導(dǎo)數(shù)。當(dāng)n省略時(shí)，默認(rèn) n=1；當(dāng)t省略時(shí)，默認(rèn)變量x, 若無x時(shí)則查找字母表上最接近字母x 的字母。

例如：求函數(shù)f=a*x^2+b*x+c對(duì)變量 x的一階導(dǎo)數(shù), 命令及結(jié)果為

>> syms a b c x

>> f=a*x^2+b*x+c;

>> diff(f)

ans=

2*a*x+b

求函數(shù)f 對(duì)變量b的一階導(dǎo)數(shù)(可看作求偏導(dǎo)), 命令及結(jié)果為

>> diff(f,b) ans=x

求函數(shù)f 對(duì)變量x的二階導(dǎo)數(shù), 命令及結(jié)果為

>> diff(f,2) ans=2*a

3、積分

格式： int(f,t,a,b)

功能： 求函數(shù)f 對(duì)變量 t從a 到b的定積分. 當(dāng)a和b省略時(shí)求不定積分；當(dāng)t省略時(shí), 默認(rèn)變量為(字母表上)最接近字母x的變量。

例如：求函數(shù)f=a*x^2+b*x+c對(duì)變量x不定積分, 命令及結(jié)果為

>> syms a b c x

>> f=a*x^2+b*x+c;

>> int(f)

ans=

1/3*a*x^3+1/2*b*x^2+c*x

求函數(shù)f 對(duì)變量b不定積分, 命令及結(jié)果為

>> int(f,b)

ans=

a*x^2*b+1/2*b^2*x+c*b

求函數(shù)f 對(duì)變量x 從 1到5的定積分, 命令及結(jié)果為

>> int(f,1,5)

ans=

124/3*a+12*b+4*c

4、級(jí)數(shù)求和

格式： symsum (s,t,a,b)

功能：求表達(dá)式s中的符號(hào)變量t從第a項(xiàng)到第b項(xiàng)的級(jí)數(shù)和。

例如： 求級(jí)數(shù)的前三項(xiàng)的和, 命令及結(jié)果為

>> symsum(1/x,1,3) ans=11/6

7.2.3 化簡(jiǎn)和代換

MATLAB符號(hào)運(yùn)算工具箱中，包括了較多的代數(shù)式化簡(jiǎn)和代換功能，下面僅舉出部分常見運(yùn)算。

simplify 利用各種恒等式化簡(jiǎn)代數(shù)式

expand 將乘積展開為和式

factor 把多項(xiàng)式轉(zhuǎn)換為乘積形式

collect 合并同類項(xiàng)

horner 把多項(xiàng)式轉(zhuǎn)換為嵌套表示形式

例如：進(jìn)行合并同類項(xiàng)執(zhí)行

>> syms x

>> collect(3*x^3-0.5*x^3+3*x^2)

ans=

5/2*x^3+3*x^2)

進(jìn)行因式分解執(zhí)行

>> factor(3*x^3-0.5*x^3+3*x^2)

ans=

1/2*x^2*(5*x+6)

7.2.4 解方程

1、代數(shù)方程

格式：solve (f,t)

功能：對(duì)變量t 解方程f=0，t 缺省時(shí)默認(rèn)為x 或最接近字母x 的符號(hào)變量。

例如：求解一元二次方程f=a*x^2+b*x+c的實(shí)根，

>> syms a b c x

>> f=a*x^2+b*x+c;

>> solve (f,x)

ans=

[1/2/a*(-b+(b^2-4*a*c)^ (1/2))]

[1/2/a*(-b-(b^2-4*a*c)^ (1/2))]

2、微分方程

格式：dsolve(‘s’, ’s1’, ’s2’,…, ’x’)

其中s為方程；s1,s2,……為初始條件，缺省時(shí)給出含任意常數(shù)c1,c2,……的通解；x為自變量，缺省時(shí)默認(rèn)為t 。

例如：求微分方程的通解

>> dsolve(‘Dy=1+y^2’)

ans=

tan(t+c1)

7.3 優(yōu)化工具箱及其應(yīng)用

在工程設(shè)計(jì)、經(jīng)濟(jì)管理和科學(xué)研究等諸多領(lǐng)域中，人們常常會(huì)遇到這樣的問題：如何從一切可能的方案中選擇最好、最優(yōu)的方案，在數(shù)學(xué)上把這類問題稱為最優(yōu)化問題。這類問題很多，例如當(dāng)設(shè)計(jì)一個(gè)機(jī)械零件時(shí)如何在保證強(qiáng)度的前提下使重量最輕

或用量最省（當(dāng)然偷工減料除外）；如何確定參數(shù)，使其承載能力最高；在安排生產(chǎn)時(shí)，如何在現(xiàn)有的人力、設(shè)備的條件下，合理安排生產(chǎn)，使其產(chǎn)品的總產(chǎn)值最高；在確定庫存時(shí)如何在保證銷售量的前提下，使庫存成本最小；在物資調(diào)配時(shí)，如何組織運(yùn)輸使運(yùn)輸費(fèi)用最少。這些都屬于最優(yōu)化問題所研究的對(duì)象。

MATLAB的優(yōu)化工具箱被放在toolbox目錄下的optim子目錄中，其中包括有若干個(gè)常用的求解函數(shù)最優(yōu)化問題的程序。MATLAB的優(yōu)化工具箱也在不斷地完善。不同版本的MATLAB，其工具箱不完全相同。在MATLAB5.3版本中，對(duì)優(yōu)化工具箱作了全面的改進(jìn)。每個(gè)原有的常用程序都重新編制了一個(gè)新的程序。除fzero和fsolve外都重新起了名字。這些新程序使用一套新的控制算法的選項(xiàng)。與原有的程序相比，新程序的功能增強(qiáng)了。在MATLAB5.3和6.0版本中，原有的優(yōu)化程序（除fzero和fsolve外）仍然保留并且可以使用，但是它們遲早會(huì)被撤消的。鑒于上述情況，本書將只介紹那些新的常用的幾個(gè)優(yōu)化程序。

7.3.1 線性規(guī)劃問題

線性規(guī)劃是最優(yōu)化理論發(fā)展最成熟，應(yīng)用最廣泛的一個(gè)分支。在MATLAB的優(yōu)化工具箱中用于求解下述線性規(guī)劃的問題



 （線性不等式約束）

 （線性等式約束）

 （有界約束）

的函數(shù)是linprog ，其主要格式為：

[x, fval, exitflag, output, lambda]= linprog(c, A, b, A1, b1 , LB, UB, x0, options)

其中，linprog為函數(shù)名，中括號(hào)及小括號(hào)中所含的參數(shù)都是輸入或輸出變量，這些參數(shù)的主要用法及說明如下：

（1）c, A和b是不可缺省的輸入宗量；x是不可缺省的輸出宗量，它是問題的解。

（2）當(dāng)x無下界時(shí)，在LB處放置[ ]。當(dāng)無上界時(shí)，在UB處放置[ ]。 如果x的某個(gè)分量無下界，則置LB(i)=-inf. 如果無上界，則置UB(i)=inf. 如果無線性不等式約束，則在A和b處都放置[ ]。

（3）x0是解的初始近似值。

（4）options是用來控制算法的選項(xiàng)參數(shù)向量。

（5）輸出宗量fval是目標(biāo)函數(shù)在解x處的值。

（6）輸出宗量exitflag的值描述了程序的運(yùn)行情況。如果exitflag的值大于0，則程序收斂于解x；如果exitflag的值等于0，則函數(shù)的計(jì)算達(dá)到了最大次數(shù)；如果exitflag的值小于0，則問題無可行解，或程序運(yùn)行失敗。

（7）輸出宗量output輸出程序運(yùn)行的某些信息。

（8）輸出宗量Lambda為在解x處的值 Lagrange乘子。

例：求解線性規(guī)劃問題

min ,

 ,

,

,

, , .

解：在命令窗口中鍵入

>> c=[-2,-1,1]; a=[1,4,-1; 2,-2,1]; b=[4; 12]; a1=[1,1,2]; b1=6;

>> lb=[0; 0; -inf]; ub=[inf; inf; 5];

>> [x, z]=linprog(c,a,b,a1,b1,1b,ub)

運(yùn)行后得到：

x=

4.6667

0.0000

0.6667

z=

-8.6667

7.3.2 非線性約束最優(yōu)化

在MATLAB的優(yōu)化工具箱中有一個(gè)求解下述非線性規(guī)劃的問題



 （線性不等式約束）

 （線性等式約束）

 （非線性不等式約束）

 （非線性等式約束）

 （有界約束）

的函數(shù)是fmincon ，其主要格式為：

[x, fval, exitflag, output, lambda, grad, hessian]=fmincon(‘fun’, x0, A, b, A1, b1 , LB,

UB, ‘nonlcon’, options, p1, p2,……)

其中，fmincon為函數(shù)名，參數(shù)的主要用法有的與線性規(guī)劃中的相同，下面介紹幾個(gè)非線性規(guī)劃特有的：

（1）‘fun’和x0是不可缺省的輸入宗量。fun是給出目標(biāo)函數(shù)的M文件的名字，x0是極小值點(diǎn)的初始近似值。x是不可缺省的輸出宗量，它是問題的解。

（2）nonlcon 是給出非線性約束函數(shù)和的M文件的文件名。

（3）宗量p1,p2…是向目標(biāo)函數(shù)傳送的參數(shù)的值。

（4）輸出宗量grad為目標(biāo)函數(shù)在解x處的梯度。

（5）輸出宗量hessian為目標(biāo)函數(shù)在解x處的Hessian矩陣。

例：求解非線性規(guī)劃問題

min ,

 ,

,

,



解：建立目標(biāo)函數(shù)的M文件

function y=nline (x)

y=exp (x(1))*(4*x(1)^2+2*x(2)^2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);

建立非線性約束條件的M文件

function [c1, c2]=nyueshu (x)

c1=[1.5+x(1)*x(2)-x(1)-x(2); -x(1)*x(2)-10];

c2=0;

在命令窗口中鍵入

>> x0=[-1,1]; a=[1, -1]; b=1; a1=[1,1]; b1=0;

>> [x, f]=fmincon (‘nline’, x0, a, b, a1, b1, [ ], [ ], ‘nyueshu’)

運(yùn)行后得到：

x=

-1.2247 1.2247

f=

1.8951

7.3.3 二次規(guī)劃問題

二次規(guī)劃數(shù)學(xué)模型的一般形式為：









其中H為對(duì)稱矩陣，約束條件與線型規(guī)劃相同。在MATLAB的優(yōu)化工具箱中有一個(gè)求解上述規(guī)劃問題的程序：

[x, fval, exitflag, output, lambda]= quadprog(H, c, A, b, A1, b1 , LB, UB, x0, options)

其中，quadprog為函數(shù)名，參數(shù)的主要用法及說明同線性規(guī)劃，這里不再贅述。

例求解如下二次優(yōu)化問題。







解：將目標(biāo)函數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)形式



在命令窗口中鍵入

>> H=[2, 0; 0, 2]; c=[-8, -10]; a=[3, 2]; b=6; lb=[0, 0]; x0=[1,1];

>> x=quadprog (H, c, a, b, [ ], [ ], lb, [ ], x0)

運(yùn)行后得到：

x=

0.3077

2.5385

7.3.4 foptions 函數(shù)

對(duì)于優(yōu)化的控制，MATLAB共提供了18個(gè)參數(shù)，這些參數(shù)對(duì)優(yōu)化的進(jìn)行起者很關(guān)鍵的作用。下面就對(duì)參數(shù)選擇函數(shù)foptions作詳細(xì)介紹。

● foptions優(yōu)化函數(shù)調(diào)用中的參數(shù)選擇。參數(shù)具體意義如下：

options(1) 參數(shù)顯示控制（默認(rèn)值為0）。等于1時(shí)顯示一些結(jié)果。

options(2) 優(yōu)化點(diǎn)x的精度控制（默認(rèn)值為1e –4）。

options(3) 優(yōu)化函數(shù)F的精度控制（默認(rèn)值為1e –4）。

options(4) 違反約束的結(jié)束標(biāo)準(zhǔn)（默認(rèn)值為1e –6）。

options(5) 策略選擇。不常用。

options(6) 優(yōu)化程序方法的選擇。值為0時(shí)為BFGS算法，值為1時(shí)采用DFP算法。

options(7) 線性插值算法選擇。值為0時(shí)為混合插值算法，值為1時(shí)采用立方插值算法。

options(8) 函數(shù)值顯示（目標(biāo)-達(dá)到問題中的Lambda）。

options(9) 若需要檢測(cè)用戶提供的導(dǎo)數(shù)則設(shè)為1。

options(10) 函數(shù)和約束求值的數(shù)目。

options(11) 函數(shù)導(dǎo)數(shù)求值的個(gè)數(shù)

options(12) 約束求值的數(shù)目。

options(13) 等式約束的數(shù)目。

options(14) 函數(shù)求值的最大次數(shù)（默認(rèn)值為100變量個(gè)數(shù)）。

options(15) 用于目標(biāo)-達(dá)到問題中的特殊目標(biāo)。

options(16) 優(yōu)化過程中變量的最小梯度值。

options(17) 優(yōu)化過程中變量的最大梯度值。

options(18) 步長(zhǎng)設(shè)置（默認(rèn)值為1或更小）。

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