?? 保險公司賠付及破產的隨機模擬與分析2.htm
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//改變圖片大小
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//無級縮放圖片大小
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//雙擊鼠標滾動屏幕的代碼
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//更改字體大小
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<TD class=main_title_282 width="66%">保險公司賠付及破產的隨機模擬與分析</TD>
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height=11>本論文頻道的所有論文均來源與網絡和網友提供,我們絕對尊重原作者的版權!如果是您的作品,請與管理員聯系,所有權歸屬原作者和出版機構,請各位朋友務用于商業用途!EMAIL:QQCN8@126.COM</TD></TR>
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<TD colSpan=2 height=24>作者：佚名 文章來源：不詳 點擊數：
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更新時間：2005-2-28</TD></TR>
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<TD id=fontzoom style="WORD-BREAK: break-all" vAlign=top colSpan=2
height=600>表1是在t=180及360時概率Pr｛Y(t)=n｝的部分理論值和模擬值。理論值用(2.2)式計算，模擬值是在同樣參數下進行1000次模擬所得頻數。理論值和模擬值是非常接近的。 <BR>§3.破產模型<BR>人們所關心的是保險公司在每一時期的破產概率及最終破產概率，經典的破產模型通常假定保險公司是按照單位時間常數速率收到保費，本文對此略加推廣，考慮保費收入是一個Poisson過程，且理賠額是獨立指數分布的情形。為此做如下假設：<BR>(i)在時期［0,t］內收到保費的次數｛M(t),t0｝是速率為λ的Poisson過程(M(0)=0)；［0，t］時期內的理賠次數｛N(t),t0｝是速率為μ的Poisson過程(N(0)=0)，兩個過程相互獨立，且顯然應當有λ》μ。<BR>(ii)每次的保費收入為常數c(c＞0),而第k次的理賠額為Xk,｛Xk,k≥1｝是相互獨立隨機變量并與｛N(t),t≥0｝獨立，且Xk,k≥1服從參數為v的相同指數分布，即k≥1<BR><BR><BR><BR>(3.1)<BR><BR>在上述假定之下，獲利過程｛S(t),t≥0｝為<BR><BR><BR><BR>(3.2)<BR><BR>為了保證保險公司的穩定經營，通常假設E［S(t)］＞0，即在單位時間內，保費收入大于理賠額：cλ＞μ／v。<BR><BR><BR>設保險公司的初始資本為u,于是破產時間為<BR><BR><BR><BR>保險公司最終破產的概率為<BR><BR>Ψ(u)=Pr｛Tu＜∞｝<BR><BR>容易驗證，由(3.2)式定義的獲利過程S(t)具有以下性質：<BR>(i)S(0)=0,P－a.s.(ii)｛S(t),t≥0｝具有平穩獨立增量。<BR>(iii)E［S(t)］=(cλ－μ／v)t＞0.(iv)存在正數r，使得E［e－rs(t)］＜∞<BR>其中的性質(iii)需要用到.由性質(iv)可知，存在g(.)使<BR><BR><BR><BR>(3.3)<BR><BR>為了得出破產概率，我們需引用如下定理［1］［2］<BR>定理最終破產概率滿足不等式<BR><BR>Ψ(u)≤e－Ru<BR><BR>(3.4)<BR><BR>其中R=sup｛r｜g(r)≤0,r＞0｝<BR><BR>(3.5)<BR><BR>利用該定理及前文中的假設和性質，可以推出g(r)的具體表示，事實上，由性質(i),(ii)和(3.2)有<BR><BR>由于｛M(t)｝是參數為λ的Poisson過程，應有<BR><BR><BR><BR>同樣由｛N(t)｝是參數為μ的Poisson過程，并由(3.1)及｛N(t)｝與｛Xk｝相互獨立，得<BR><BR><BR><BR>推導中用到指數分布隨機變量的矩母函數.綜合上述即知，(3.3)式中的g(r)由下式給出：<BR><BR><BR><BR>(3.6)<BR><BR>顯然g(0)=0,g(v)=+∞，且對充分小△r∈(0，v)有g(△r)＜0,因此必存在r*∈(0,v)使g(r*)=0,且有.因此對于本文所述情形，(3.5)式定義的R恰是(3.6)給出函數g(r)=0的正解(即R=r?).<BR>例2保單到達速率λ及理賠發生速率μ取值同例1，假設每張保單價格c=1.理賠額所服從指數分布的參數為v，準備金為u.表2中給出了總時間長度T0=7300天(20年)的隨機模擬結果，其中b=1／v=E［Xk］(k≥1)是平均理賠額，表中所列是v取不同值、初始準備金不同時的理論破產概率上界，以* * *號標記的行是通過1000次隨機模擬得到的破產概率。<BR><BR>表2最終破產概率的理論上界和模擬結果<BR> <BR><BR>v×103 b=1／v R×103 u=b u=2b u=3b u=4b u=5b u=6b u=7b u=8b u=9b u=10b <BR>.5263<BR> 1900<BR> .02631<BR>*** .9512<BR>.833 .9049<BR>.773 .8607<BR>.076 .8188<BR>.633 .7788<BR>.576 .7409<BR>.501 .7049<BR>.455 .6704<BR>.382 .6377<BR>.339 .6066<BR>.304 <BR>.5556<BR> 1800<BR> .05541<BR>*** .9049<BR>.793 .8188<BR>.675 .7409<BR>.607 .6704<BR>.525 .6067<BR>.471 .5490<BR>.396 .4967<BR>.357 .4495<BR>.319 .4067<BR>.279 .3680<BR>.235 <BR>.5882<BR> 1700<BR> .08821<BR>*** .8607<BR>.716 .7409<BR>.620 .6377<BR>.514 .5489<BR>.458 .4724<BR>.391 .4066<BR>.337 .3500<BR>.265 .3013<BR>.219 .2593<BR>.175 .2232<BR>.176 <BR>.6250<BR> 1600<BR> .12497<BR>*** .8190<BR>.654 .6706<BR>.556 .5493<BR>.444 .4499<BR>.366 .3685<BR>.317 .3018<BR>.215 .2471<BR>.199 .2024<BR>.165 .1658<BR>.107 .1358<BR>.107 <BR>.6667<BR> 1500<BR> .16663<BR>*** .7788<BR>.604 .6065<BR>.467 .4723<BR>.355 .3678<BR>.283 .2864<BR>.229 .2231<BR>.168 .1737<BR>.129 .1353<BR>.121 .1054<BR>.097 .0820<BR>.071 <BR>.7129<BR> 1400<BR> .21423<BR>*** .7409<BR>.511 .5489<BR>.413 .4067<BR>.305 .3013<BR>.221 .2233<BR>.162 .1654<BR>.113 .1226<BR>091 .0908<BR>.089 .0673<BR>.056 .0498<BR>.046 <BR>.7692<BR> 1300<BR> .26916<BR>*** .7047<BR>.460 .4966<BR>.334 .3500<BR>.222 .2466<BR>.172 .1738<BR>.123 .1225<BR>.080 .0863<BR>.060 .0608<BR>.051 .0429<BR>.028 .0302<BR>.012 <BR>.8333<BR> 1200<BR> .33325<BR>*** .6704<BR>.424 .4495<BR>.296 .3013<BR>.186 .2020<BR>.119 .1354<BR>.092 .0908<BR>.064 .0609<BR>.035 .0408<BR>.020 .0274<BR>.020 .0183<BR>.011 <BR>.9091<BR> 1100<BR> .40899<BR>*** .6377<BR>.381 .4067<BR>.248 .2593<BR>.152 .1654<BR>.095 .1055<BR>.074 .0672<BR>.038 .0429<BR>.027 .0273<BR>.014 .0174<BR>.005 .0111<BR>.006 <BR>1.0000<BR> 1000<BR> .49987<BR>*** .6066<BR>.320 .3680<BR>.185 .2232<BR>.118 .1354<BR>.056 .0821<BR>.041 .0498<BR>.027 .0302<BR>.018 .0183<BR>.014 .0111<BR>.050 .0067<BR>.020 <BR><BR>我們看到：<BR>1.破產概率的模擬值都小于理論破產概率上界，說明(3.4)確實為破產概率上界。<BR>2.當v確定時，無論理論值或是模擬值，破產概率都隨著初始準備金的增加而減小，這與保險公司的實際運作情況是相符的，表明具有充分準備金的重要性。<BR>3.當參數v增大時，平均理賠額b減小，這時R的值隨之增大，即破產概率上限減小，隨機模擬的結果也表明破產概率隨著平均理賠額的減小而減小，這表明合理厘定理賠額對于保險公司正常經營是至關重要的。<BR>表3給出了破產時間分布的模擬結果，1，2，…，20表示等間隔(1年)的時間區間。我們看到，破產出現在經營初期的概率是較大的，特別當準備金較少而理賠額又較大時更是如此。而隨著經營時間增加，出現破產的概率減小。而由E［S(t)］=(cλ－μ／v)t＞0，可知當t→∞時，E［S(t)］→∞，這說明，隨著t增大，獲利也增大，從而保險人司在無限遠的時間(長期穩定經營)，破產概率為0。 <BR>表3破產時間頻數分布的模擬結果<BR> <BR><BR>v×103 b=1／v u 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 <BR>1.0000<BR>.7143<BR>.5556 1000<BR>1400<BR>1800 3000<BR>4200<BR>5400 93<BR>155<BR>200 14<BR>62<BR>94 5<BR>34<BR>67 2<BR>16<BR>52 3<BR>8<BR>30 1<BR>14<BR>30 0<BR>6<BR>22
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