?? 保險公司賠付及破產的隨機模擬與分析.htm
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<TD colSpan=2 height=24>作者：佚名 文章來源：不詳 點擊數：
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更新時間：2005-2-28</TD></TR>
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height=600> 保險公司賠付及破產的隨機模擬與分析<BR><BR>孫立娟顧嵐<BR>摘自“數理統計與管理” <BR><BR>摘要孫立娟、顧嵐等.保險公司賠付及破產的隨機模擬與分析.<BR>本文研究定期人壽保險的承保理賠及破產模型，其中保單到達和索賠出現服從相互獨立的Poisson過程。對此模型給出了破產概率的一個具體上界，通過隨機模擬生成了持有保單數和理賠過程的樣本軌道，分析研究破產概率與準備金和理賠額之間的關系。<BR>中圖分類號：O212F840文獻標識碼：A <BR><BR>Stochastic Simulation and Analysis of Claims and Ruin<BR>for an lnsurance Company<BR><BR>SUN Li－juanGULan<BR><BR>AbstractIn this paper we consider a model for the term insurance of a life insurance company,where the arrival of term policies and the occurence of claims follow two independent poisson processes.For this model,a concrete upper bound for the ruin probability is obtained.By stochastic simulation we show how varies the nurmber of holding policies and illustrante the relationship between the ruin probability,the premium reserve and claim amounts.<BR>Key words：poisson process,Term policy,stochastic simulation， Ruin probability.<BR><BR>在我國保險公司的運作過程中，保費收入是主要收入來源，理賠則是主要的風險因素。為了保障保險公司財務經營的穩定及減少損失波動，保持足夠多的保單數目是必不可少的。保險公司必須統籌安排：應備有多少準備金用于賠付，應將多少資金注入投資，以增加收益。保險公司最基本的經營目標就是要提高保險公司的償付能力，確保穩定運作，因此，科學地預測保險公司未來的保費收入、可能發生的理賠額，以及估計保險公司的破產概率，等等，都是十分重要的課題。我國的保險事業起步較晚，保險業可能采用的金融投資工具有限，投資增值能力也較差，因此更加需要加強保險公司的經營管理。保險公司一方面應采取各種措施增加保單數額，穩定風險波動，另一方面合理地厘定保險費率，科學測算未來的風險和收益，這已經成為我國保險業必不可少的穩定經營手段。本文試圖對保險公司未來持有保單數及破產概率的估算進行研究，并通過對保險公司的運行進行隨機模擬，以期作出定量分析。<BR><BR>§1.概率模型的引人<BR>本文以定期人壽保險為例進行研究。保險公司在經營中將不斷出現下列事件：<BR>1.客戶購買保單。2.發生理賠。3.保單到期。4.發生退保。<BR>以上事件直接決定了保險公司持有保單的數目。為了簡化模型，我們考慮保險公司經營一種定期人壽保單。由于國內對于退保有一定時間限制，且返回的保金量也較少，可以認為中途退保的可能性很小。因此，本文暫不考慮退保的發生。事實上，如航空保險等險種根本不可能中途退保。對于一般的保險產品，若需要考慮退保，可以依照本文的方法類似處理。在本文中，我們把發生一次客戶購買保單、一次理賠或一次保單到期均稱為發生一次系統事件，而且認為在同一時刻幾乎不可能有兩個或兩個以上的系統事件發生。<BR>假定人壽保單為T年期。設保險公司在未來時刻t持有保單數為Y(t)，客戶購買保單時，保險合同生效，Y(t)的值將增加1；當理賠或保單到期發生時，保險責任中止，Y(t)的值將減少1。理賠發生時需予以賠付，而保單到期不需支付。因此，保險公司在每一時刻t所持有的保單數目｛Y(t),t0｝是一個連續時間離散狀態的隨機過程。設直至時刻t，保險公司售出的保單總數為M(t)，發生理賠的保單數為N(t)，到期的保單數為W(t)，而任意時刻購買保單與發生理賠是兩個相互獨立的事件，因此，可視｛M(t),t0｝｛N(t),t0｝為相互獨立的隨機過程。<BR>｛M(t),t0｝可以理解為保單到達過程，根據歷史資料可得到兩個保單到達之間的平均時間間隔，記為1／λ；｛N(t),0｝可理解為理賠發生過程，根據歷史資料同樣可以得到兩次理賠之間的平均時間間隔，記為1／μ。這些時間間隔之間又是相互獨立的。假設在時刻t=0有：M(0)=0，N(0)=0，即在開始考察時，沒有客戶購買保單，也沒有理賠發生。由上述可知，｛M(t),t0｝,｛N(t)t,0｝是兩個相互獨立的Poisson過程，即對任意s＞0<BR><BR><BR><BR>(1.1)<BR><BR>而且無論從直觀上或是從經驗上都應有<BR><BR>(1.2)<BR><BR>也就是：保單到達的速率應遠比理賠發生的速率大，否則，這種保險產品就沒有經營價值。<BR><BR>§2.承保賠付模型<BR>假設在初始時刻t=0休險公司持有的保單數為0(即Y(0)=0)，易知保險公司剛剛開始經營T年期保險產品時持有的保單數應是<BR><BR>Y(t)=M(t)－N(t)t＜T<BR><BR>(2.1)<BR><BR>在這段時間，不可能發生保單到期，保單到達過程｛M(t),t≥0｝和理賠發生過程｛N((t),t≥0｝是相互獨立的Poisson過程，因此｛Y(t),0≤t≤T｝是平穩增量過程。<BR>由｛Y(t)｝的定義(2.1)式可得<BR><BR><BR><BR>(2.2)<BR><BR>并有EY(t)=E［M(t)－N(t)］=(λ－μ)t<BR><BR>(2.3)<BR><BR>由于λ＞μ，故E［Y(t)］是時間t的增函數，即當0?t?T時，保險公司持有的期望保單數是一個遞增過程。<BR>當t＞T時，保單到達過程｛M(t)｝仍是速率為λ的Poisson流，這時，保單到期成為可能發生的系統事件，如無理賠發生，保單到期過程｛W(t)｝只是保單到達過程｛M(t)｝的重現，但由于理賠事件出現，使得保單到期速率小于λ。然而由于理賠發生的速率遠遠小于保單到達的速率(如(1.2)式)，根據實際經驗理賠發生僅占保單總數的萬分之五左右，因此，保單減少(理賠或保單到期)的時間間隔近似可視為服從參數為λ的指數分布。所以，當t＞T時，保單減少的速率與保單到達的速率幾乎相同(=λ)。由此可知，在T時刻以后保險公司的保單數呈穩定狀態，保單數在(2.3)式所給出的均值E［Y(t)］附近波動。<BR>綜合上述，t時刻保險公司的保單總數可由下式描述：<BR><BR><BR><BR>(2.4)<BR><BR>其中n0是初始保單數，W(t)是保單到期數。<BR>我們將通過具體實例對｛Y(t)｝與｛M(t)｝,｛N(t)｝,｛W(t)｝之間的數量關系加以分析，并利用隨機模擬對保險公司持有保單數進行研究。<BR>例1.考慮1年期人壽保險，保單到達速率為λ=20張／天，理賠發生速率為μ=0.01次／天。用隨機模擬［3］按照(1.1)相應的分布獨立地產生過程｛M(t),0≤t≤T0｝和｛N(t),0≤t≤T0｝，其中T0=2190天(六年)。由此得到保單到期過程｛W(t),0≤t≤T0｝，并由(2.4)式計算出持有保單數過程｛Y(t),0≤t≤T0｝。圖1給出了隨機模擬所得樣本軌道。<BR> <BR><BR><BR><BR>圖1隨機模擬的樣本軌道<BR><BR>表1Pr｛Y(t)=n｝的理論論值和隨機模擬值<BR> <BR><BR>t=180 n ［3201，3300］ ［3301，3400］ ［3401，3500］ ［3501，3600］ ［3601，3700］ ［3701，3800］ ［3801，3900］ ［3907，4000］ <BR>理論值 .000000 .000446 .050833 .465110 .438986 .044210 .000414 .000000 <BR>模擬值 .000000 .000000 .053000 .433000 .458000 .050000 .000000 .000000 <BR>t=360 n ［680，69001］ ［6910，7000］ ［7001，7100］ ［7101，7200］ ［7210，7300］ ［7301，7400］ ［7401，7500］ ［7501，7600］ <BR>理論值 .000224 .010034 .118881 .390903 .369771 .101885 .001184 .000001 <BR>模擬值 .000000 .010000 .129000 .360000 .372000 .106000 .011000 .000000 <BR><BR>從圖1中我們看到，當t?T時，Y(t)近似為單調增函數，而T時刻以后，保單數Y(t)在7300(=λY=20×365)上下波動。令Q(t)=W(t)+N(t)是t時刻的保單移出數。在給定參數λ，μ及T之下，我們得到t=T0時有關參數的1000次隨機模擬的平均值為： <BR><BR>△M(T0) △N(T0) △W(T0) △Q(T0) Y(T0) N(T0)／M(T0) <BR>19.9982 0.009968 19.9904 20.0003 7297.8900 .0004996 <BR>.1038 0.002389 0.1010 0.1022 36.3318 .0001344 <BR><BR>其中第二行是各量相應的標準差。我們看到保單到達速率△M(T0)與λ十分接近，而索賠速率△N(T0)與到期速率W(T0)之和近似等于保單移出速率Q(T0)。此外，N(T0)／M(T0)μ／λ，Y(T0)?7300，這些都是與理論分析相符的
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