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因為工作的需要，要在單片機上實現開根號的操作。目前開平方的方法大部分
是用牛頓迭代法。我在查了一些資料以后找到了一個比牛頓迭代法更加快速的
方法。不敢獨享，介紹給大家，希望會有些幫助。

1.原理
因為排版的原因，用pow(X,Y)表示X的Y次冪，用B[0]，B[1]，...，B[m-1]表示一個序列，
其中[x]為下標。

假設：
B[x],b[x]都是二進制序列,取值0或1。
M = B[m-1]*pow(2,m-1) + B[m-2]*pow(2,m-2) + ... + B[1]*pow(2,1) + B[0]*pow
(2,0)
N = b[n-1]*pow(2,n-1) + b[n-2]*pow(2,n-2) + ... + b[1]*pow(2,1) + n[0]*pow
(2,0)
pow(N,2) = M

(1) N的最高位b[n-1]可以根據M的最高位B[m-1]直接求得。
設 m 已知,因為 pow(2, m-1) <= M <= pow(2, m)，所以 pow(2, (m-1)/2) <= N <=
pow(2, m/2)
如果 m 是奇數，設m=2*k+1,
那么 pow(2,k) <= N < pow(2, 1/2+k) < pow(2, k+1),
n-1=k, n=k+1=(m+1)/2
如果 m 是偶數，設m=2k,
那么 pow(2,k) > N >= pow(2, k-1/2) > pow(2, k-1),
n-1=k-1,n=k=m/2
所以b[n-1]完全由B[m-1]決定。
余數 M[1] = M - b[n-1]*pow(2, 2*n-2)

(2) N的次高位b[n-2]可以采用試探法來確定。
因為b[n-1]=1，假設b[n-2]=1，則 pow(b[n-1]*pow(2,n-1) + b[n-1]*pow(2,n-2),
2) = b[n-1]*pow(2,2*n-2) + (b[n-1]*pow(2,2*n-2) + b[n-2]*pow(2,2*n-4)),
然后比較余數M[1]是否大于等于 (pow(2,2)*b[n-1] + b[n-2]) * pow(2,2*n-4)。這種
比較只須根據B[m-1]、B[m-2]、...、B[2*n-4]便可做出判斷，其余低位不做比較。
若 M[1] >= (pow(2,2)*b[n-1] + b[n-2]) * pow(2,2*n-4), 則假設有效，b[n-2] =
1；
余數 M[2] = M[1] - pow(pow(2,n-1)*b[n-1] + pow(2,n-2)*b[n-2], 2) = M[1] -
(pow(2,2)+1)*pow(2,2*n-4)；
若 M[1] < (pow(2,2)*b[n-1] + b[n-2]) * pow(2,2*n-4), 則假設無效，b[n-2] =
0；余數 M[2] = M[1]。

(3) 同理，可以從高位到低位逐位求出M的平方根N的各位。

使用這種算法計算32位數的平方根時最多只須比較16次，而且每次比較時不必把M的各位逐
一比較，尤其是開始時比較的位數很少，所以消耗的時間遠低于牛頓迭代法。

2. 流程圖
(制作中，稍候再上)

3. 實現代碼
這里給出實現32位無符號整數開方得到16位無符號整數的C語言代碼。
*/

/****************************************/ 
/*Function: 開根號處理 */ 
/*入口參數：被開方數，長整型 */ 
/*出口參數：開方結果，整型 */ 
/****************************************/ 
#include <REG51.H> 
#include <stdio.H>
unsigned int sqrt_16(unsigned long M) 
{ 
 unsigned int N, i; 
 unsigned long tmp, ttp; // 結果、循環計數 
 if (M == 0)            // 被開方數，開方結果也為0 
 return 0; 

 N = 0; 

 tmp = (M >> 30);       // 獲取最高位：B[m-1] 
 M <<= 2; 
 if (tmp > 1)           // 最高位為1 
 { 
  N ++;                 // 結果當前位為1，否則為默認的0 
  tmp -= N; 
 } 

 for (i=15; i>0; i--)   // 求剩余的15位 
 { 
  N <<= 1;              // 左移一位 

  tmp <<= 2; 
  tmp += (M >> 30);     // 假設 

  ttp = N; 
  ttp = (ttp<<1)+1; 

  M <<= 2; 
  if (tmp >= ttp)   // 假設成立 
  { 
   tmp -= ttp; 
   N ++; 
  } 
 } 
 return N; 
} 
main()
{
 unsigned long num;
 unsigned int result;
 SCON=0X50;
 TMOD=0X20;
 TH1=0XF3;
 TR1=1;
 TI=1;
 scanf("%blu",&num);
 result=sqrt_16(num);
 printf("%u\n",result);
}