數學建模--灰色理論Matlab程序 - [數學建模]
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所謂灰色系統是指,相對于一定的認識層次,系統內部的信息部分已知,部分未知,即信息不完全的系統。灰色系統理論認為,由于各種環境因素對系統的影響,使得表現系統行為特征的離散數據呈現出離亂,但是這一無規的離散數列是潛在的有規序列的一種表現,系統總是有其整體功能,也就必然蘊含著某種內在規律。因而任何隨機過程都可看作是在一定時空區域變化的灰色過程,隨機量可看作是灰色量,通過生成變換可將無規序列變成有規序列。作為灰色系統理論核心和基礎的灰色模型(Grey Model) ,簡稱GM模型,概括而言具有以下3 個特點: 

1.建模所需信息較小,通常只要有4 個以上數據即可建模 

2.不必知道原始數據分布的先驗特征,對無規或不服從任何分布的任意光滑離散的原始序列,通過有限次的生成即可轉化成為有規序列 

3.建模的精度較高,可保持原系統的特征,能較好地反映系統的實際狀況 灰色理論是數學建模過程中常用到的理論,在解決某些已知信息不完全的問題具有獨特的優勢. 

 

在灰色理論模型GM(1,N)中，通常系統特征量都只有一個，即N=1的情況最

常見也最常用，所以這里只給出GM(1,1) 模型，模型如下：

 

設原始數據序列為：


對作一次累加生成


 

其中 由式(1.1)和式(1.2)可得


 

由此得相應的微分方程模型為




 

此即為GM(1，1)模型，式中a,b為待定參數，a稱為發展系數，b稱為灰色作用量。

 

 設為待定參數向量，利用最小二乘法求解可得




其中


估計出參數a,b之后，則方程(1.4)的解為




由(1.5)可對 作出預測，并由累減生成得到原始數據序列的模擬系列值為


下面給出其MATLAB代碼,以供有需要的朋友參考: 

gg=[[x1,x2,x3,x4,x5],zeros(1,m)];%矩陣gg,其中[x1,x2,x3,x4,x5]是已知數據,前面說到灰色理論只要四個數據以上就可以建模,所以這里用五個比較合理,zeros(1,m)中的m是你所想得到的預測數據的個數,由前面用于預測的已知數據是五個,所以m的值最好也在五個左右.在下面的語句中,實際操作的時候不要忘了把m替換成實際的數值.
result=zeros(1,m);
for j=1:m
g0=gg(:,j:j+4);
n=5;
x0=g0;
x1=zeros(n-1,1);
x1(1)=x0(1);
for i=2:n,
    x1(i)=x1(i-1)+x0(i);
end
for k=1:n-1
    z1(k)=(x1(k)+x1(k+1))/2;
end
z=zeros(1,n-1);
for i=1:n-1
    z(i)=-z1(i);
end
B=[z;ones(1,n-1)];
B=B';
y=zeros(n-1,1);
for i=2:n
    y(i-1)=x0(i);
end
u=inv(B'*B)*B'*y;
a=u(1);
b=u(2);
for k=0:5,
x2(k+1)=(x0(1)-b/a)*exp(-a*k)+b/a;
end
x3(1)=x0(1);
for k=1:5,
    x3(k+1)=x2(k+1)-x2(k);
end
g=x3;
result(j)=g(n+1);
gg(j+5)=g(n+1);
end
result;
r=result' %r即為預測得到的數據