背包問(wèn)題算法集

1)登上算法 
用登山算法求解背包問(wèn)題 function []=DengShan(n,G,P,W) %n是背包的個(gè)數(shù)，G是背包的總?cè)萘浚琍是價(jià)值向量，W是物體的重量向量 %n=3;G=20;P=[25,24,15];W2=[18,15,10];%輸入量 W2=W; [Y,I]=sort(-P./W2);W1=[];X=[];X1=[]; for i=1:length(I) W1(i)=W2(I(i)); end W=W1; for i=1:n X(i)=0; RES=G;%背包的剩余容量 j=1; while W(j)<=RES X(j)=1; RES=RES-W(j); j=j+1; end X(j)=RES/W(j); end for i=1:length(I) X1(I(i))=X(i); end X=X1; disp('裝包的方法是');disp(X);disp(X.*W2);disp('總的價(jià)值是：');disp(P*X'); 

時(shí)間復(fù)雜度是非指數(shù)的 

2)遞歸法 
先看完全背包問(wèn)題 
一個(gè)旅行者有一個(gè)最多能用m公斤的背包，現(xiàn)在有n種物品，每件的重量分別是W1，W2，...,Wn, 
每件的價(jià)值分別為C1,C2,...,Cn.若的每種物品的件數(shù)足夠多. 
求旅行者能獲得的最大總價(jià)值。 
本問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型如下： 
設(shè) f(x)表示重量不超過(guò)x公斤的最大價(jià)值， 
則 f(x）=max{f(x-i)+c[i]} 當(dāng)x>=w[i] 1<=i<=n 
可使用遞歸法解決問(wèn)題程序如下: 
program knapsack04; 
const maxm=200;maxn=30; 
type ar=array[0..maxn] of integer; 
var m,n,j,i,t:integer; 
c,w:ar; 
function f(x:integer):integer; 
var i,t,m:integer; 
begin 
if x=0 then f:=0 else 
begin 
t:=-1; 
for i:=1 to n do 
begin 
if x>=w[i] then m:=f(x-i)+c[i]; 
if m>t then t:=m; 
end; 
f:=t; 
end; 
end; 
begin 
readln(m,n); 
for i:= 1 to n do 
readln(w[i],c[i]); 
writeln(f(m)); 
end. 
說(shuō)明:當(dāng)m不大時(shí),編程很簡(jiǎn)單,但當(dāng)m較大時(shí),容易超時(shí). 
4.2 改進(jìn)的遞歸法 
改進(jìn)的的遞歸法的思想還是以空間換時(shí)間,這只要將遞歸函數(shù)計(jì)算過(guò)程中的各個(gè)子函數(shù)的值保存起來(lái),開辟一個(gè) 
一維數(shù)組即可 
程序如下: 
program knapsack04; 
const maxm=2000;maxn=30; 
type ar=array[0..maxn] of integer; 
var m,n,j,i,t:integer; 
c,w:ar; 
p:array[0..maxm] of integer; 
function f(x:integer):integer; 
var i,t,m:integer; 
begin 
if p[x]<>-1 then f:=p[x] 
else 
begin 
if x=0 then p[x]:=0 else 
begin 
t:=-1; 
for i:=1 to n do 
begin 
if x>=w[i] then m:=f(i-w[i])+c[i]; 
if m>t then t:=m; 
end; 
p[x]:=t; 
end; 
f:=p[x]; 
end; 
end; 
begin 
readln(m,n); 
for i:= 1 to n do 
readln(w[i],c[i]); 
fillchar(p,sizeof(p),-1); 
writeln(f(m)); 
end. 
3)貪婪算法 
改進(jìn)的背包問(wèn)題：給定一個(gè)超遞增序列和一個(gè)背包的容量，然后在超遞增序列中選（只能選一次）或不選每一個(gè)數(shù)值，使得選中的數(shù)值的和正好等于背包的容量。 

代碼思路：從最大的元素開始遍歷超遞增序列中的每個(gè)元素，若背包還有大于或等于當(dāng)前元素值的空間，則放入，然后繼續(xù)判斷下一個(gè)元素；若背包剩余空間小于當(dāng)前元素值，則判斷下一個(gè)元素 
簡(jiǎn)單模擬如下： 

#define K 10 
#define N 10 

＃i nclude <stdlib.h> 
＃i nclude <conio.h> 

void create(long array[],int n,int k) 
{/*產(chǎn)生超遞增序列*/ 
int i,j; 
array[0]=1; 
for(i=1;i<n;i++) 
{ 
long t=0; 
for(j=0;j<i;j++) 
t=t+array[j]; 
array[i]=t+random(k)+1; 
} 
} 
void output(long array[],int n) 
{/*輸出當(dāng)前的超遞增序列*/ 
int i; 
for(i=0;i<n;i++) 
{ 
if(i%5==0) 
printf("\n"); 
printf("%14ld",array[i]); 
} 
} 

void beibao(long array[],int cankao[],long value,int count) 
{/*背包問(wèn)題求解*/ 
int i; 
long r=value; 
for(i=count-1;i>=0;i--)/*遍歷超遞增序列中的每個(gè)元素*/ 
{ 
if(r>=array[i])/*如果當(dāng)前元素還可以放入背包，即背包剩余空間還大于當(dāng)前元素*/ 
{ 
r=r-array[i]; 
cankao[i]=1; 
} 
else/*背包剩余空間小于當(dāng)前元素值*/ 
cankao[i]=0; 
} 
} 

void main() 
{ 
long array[N]; 
int cankao[N]={0}; 
int i; 
long value,value1=0; 
clrscr(); 
create(array,N,K); 
output(array,N); 
printf("\nInput the value of beibao:\n"); 
scanf("%ld",&value); 
beibao(array,cankao,value,N); 
for(i=0;i<N;i++)/*所有已經(jīng)選中的元素之和*/ 
if(cankao[i]==1) 
value1+=array[i]; 
if(value==value1) 
{ 
printf("\nWe have got a solution,that is:\n"); 
for(i=0;i<N;i++) 
if(cankao[i]==1) 
{ 
if(i%5==0) 
printf("\n"); 
printf("%13ld",array[i]); 
} 
} 
else 
printf("\nSorry.We have not got a solution.\n"); 
} 
貪婪算法的另一種寫法，beibao函數(shù)是以前的代碼，用來(lái)比較兩種算法： 

#define K 10 
#define N 10 

＃i nclude <stdlib.h> 
＃i nclude <conio.h> 

void create(long array[],int n,int k) 
{ 
int i,j; 
array[0]=1; 
for(i=1;i<n;i++) 
{ 
long t=0; 
for(j=0;j<i;j++) 
t=t+array[j]; 
array[i]=t+random(k)+1; 
} 
} 
void output(long array[],int n) 
{ 
int i; 
for(i=0;i<n;i++) 
{ 
if(i%5==0) 
printf("\n"); 
printf("%14ld",array[i]); 
} 
} 

void beibao(long array[],int cankao[],long value,int count) 
{ 
int i; 
long r=value; 
for(i=count-1;i>=0;i--) 
{ 
if(r>=array[i]) 
{ 
r=r-array[i]; 
cankao[i]=1; 
} 
else 
cankao[i]=0; 
} 
} 

int beibao1(long array[],int cankao[],long value,int n) 
{/*貪婪算法*/ 
int i; 
long value1=0; 
for(i=n-1;i>=0;i--)/*先放大的物體，再考慮小的物體*/ 
if((value1+array[i])<=value)/*如果當(dāng)前物體可以放入*/ 
{ 
cankao[i]=1;/*1表示放入*/ 
value1+=array[i];/*背包剩余容量減少*/ 
} 
else 
cankao[i]=0; 
if(value1==value) 
return 1; 
return 0; 
} 

void main() 
{ 
long array[N]; 
int cankao[N]={0}; 
int cankao1[N]={0}; 
int i; 
long value,value1=0; 
clrscr(); 
create(array,N,K); 
output(array,N); 
printf("\nInput the value of beibao:\n"); 
scanf("%ld",&value); 
beibao(array,cankao,value,N); 
for(i=0;i<N;i++) 
if(cankao[i]==1) 
value1+=array[i]; 
if(value==value1) 
{ 
printf("\nWe have got a solution,that is:\n"); 
for(i=0;i<N;i++) 
if(cankao[i]==1) 
{ 
if(i%5==0) 
printf("\n"); 
printf("%13ld",array[i]); 
} 
} 
else 
printf("\nSorry.We have not got a solution.\n"); 
printf("\nSecond method:\n"); 
if(beibao1(array,cankao1,value,N)==1) 
{ 
for(i=0;i<N;i++) 
if(cankao1[i]==1) 
{ 
if(i%5==0) 
printf("\n"); 
printf("%13ld",array[i]); 
} 
} 
else 
printf("\nSorry.We have not got a solution.\n"); 
} 

4)動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法 

解決0/1背包問(wèn)題的方法有多種，最常用的有貪婪法和動(dòng)態(tài)規(guī)劃法。其中貪婪法無(wú)法得到問(wèn)題的最優(yōu)解，而動(dòng)態(tài)規(guī)劃法都可以得到最優(yōu)解，下面是用動(dòng)態(tài)規(guī)劃法來(lái)解決0/1背包問(wèn)題。 

動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法與分治法類似，其基本思想是將待求解問(wèn)題分解成若干個(gè)子問(wèn)題，然后從這些子問(wèn)題的解得到原問(wèn)題的解。與分治法不同的是，適合于用動(dòng)態(tài)規(guī)劃法求解的問(wèn)題，經(jīng)分解得到的子問(wèn)題往往不是互相獨(dú)立的，若用分治法解這類問(wèn)題，則分解得到的子問(wèn)題數(shù)目太多，以至于最后解決原問(wèn)題需要耗費(fèi)過(guò)多的時(shí)間。動(dòng)態(tài)規(guī)劃法又和貪婪算法有些一樣，在動(dòng)態(tài)規(guī)劃中，可將一個(gè)問(wèn)題的解決方案視為一系列決策的結(jié)果。不同的是，在貪婪算法中，每采用一次貪婪準(zhǔn)則便做出一個(gè)不可撤回的決策，而在動(dòng)態(tài)規(guī)劃中，還要考察每個(gè)最優(yōu)決策序列中是否包含一個(gè)最優(yōu)子序列。 


0/1背包問(wèn)題 


在0 / 1背包問(wèn)題中，需對(duì)容量為c 的背包進(jìn)行裝載。從n 個(gè)物品中選取裝入背包的物品，每件物品i 的重量為wi ，價(jià)值為pi 。對(duì)于可行的背包裝載，背包中物品的總重量不能超過(guò)背包的容量，最佳裝載是指所裝入的物品價(jià)值最高，即p1*x1+p2*x1+...+pi*xi(其1<=i<=n，x取0或1，取1表示選取物品i) 取得最大值。 
在該問(wèn)題中需要決定x1 .. xn的值。假設(shè)按i = 1，2，...，n 的次序來(lái)確定xi 的值。如果置x1 = 0，則問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)橄鄬?duì)于其余物品(即物品2，3，.，n)，背包容量仍為c 的背包問(wèn)題。若置x1 = 1，問(wèn)題就變?yōu)殛P(guān)于最大背包容量為c-w1 的問(wèn)題。現(xiàn)設(shè)r?{c，c-w1 } 為剩余的背包容量。 
在第一次決策之后，剩下的問(wèn)題便是考慮背包容量為r 時(shí)的決策。不管x1 是0或是1，[x2 ，.，xn ] 必須是第一次決策之后的一個(gè)最優(yōu)方案，如果不是，則會(huì)有一個(gè)更好的方案[y2，.，yn ]，因而[x1，y2，.，yn ]是一個(gè)更好的方案。 
假設(shè)n=3, w=[100,14,10], p=[20,18,15], c= 116。若設(shè)x1 = 1，則在本次決策之后，可用的背包容量為r= 116-100=16 。[x2，x3 ]=[0,1] 符合容量限制的條件，所得值為1 5，但因?yàn)閇x2，x3 ]= [1，0] 同樣符合容量條件且所得值為1 8，因此[x2，x3 ] = [ 0，1] 并非最優(yōu)策略。即x= [ 1，0，1] 可改進(jìn)為x= [ 1，1，0 ]。若設(shè)x1 = 0，則對(duì)于剩下的兩種物品而言，容量限制條件為116。總之，如果子問(wèn)題的結(jié)果[x2，x3 ]不是剩余情況下的一個(gè)最優(yōu)解，則[x1，x2，x3 ]也不會(huì)是總體的最優(yōu)解。在此問(wèn)題中，最優(yōu)決策序列由最優(yōu)決策子序列組成。假設(shè)f (i,y) 表示剩余容量為y，剩余物品為i，i + 1，...，n 時(shí)的最優(yōu)解的值，即：利用最優(yōu)序列由最優(yōu)子序列構(gòu)成的結(jié)論，可得到f 的遞歸式為： 
當(dāng)j>=wi時(shí)： f(i,j)=max{f(i+1,j),f(i+1,j-wi)+vi} ①式 
當(dāng)0<=j<wi時(shí)：f(i,j)=f(i+1,j) ②式 
fn( 1 ,c) 是初始時(shí)背包問(wèn)題的最優(yōu)解。 
以本題為例：若0≤y＜1 0，則f ( 3 ,y) = 0；若y≥1 0，f ( 3 ,y) = 1 5。利用②式，可得f (2, y) = 0 ( 0≤y＜10 )；f(2，y)= 1 5(1 0≤y＜1 4)；f(2，y)= 1 8(1 4≤y＜2 4)和f(2，y)= 3 3(y≥2 4)。因此最優(yōu)解f ( 1 , 11 6 ) = m a x {f(2，11 6)，f(2，11 6 - w1)+ p1} = m a x {f(2，11 6)，f(2，1 6)+ 2 0 } = m a x { 3 3，3 8 } = 3 8。 
現(xiàn)在計(jì)算xi 值，步驟如下：若f ( 1 ,c) =f ( 2 ,c)，則x1 = 0，否則x1 = 1。接下來(lái)需從剩余容量c-w1中尋求最優(yōu)解，用f (2, c-w1) 表示最優(yōu)解。依此類推，可得到所有的xi (i= 1.n) 值。 
在該例中，可得出f ( 2 , 116 ) = 3 3≠f ( 1 , 11 6 )，所以x1 = 1。接著利用返回值3 8 -p1=18 計(jì)算x2 及x3，此時(shí)r = 11 6 -w1 = 1 6，又由f ( 2 , 1 6 ) = 1 8，得f ( 3 , 1 6 ) = 1 4≠f ( 2 , 1 6 )，因此x2 = 1，此時(shí)r= 1 6 -w2 = 2，所以f (3,2) =0，即得x3 = 0。