濾波器是一種選頻裝置，可以使信號中特定的頻率成分通過，而極大地衰減其它頻率成分。在測試裝置中，利用濾波器的這種選頻作用，可以濾除干擾噪聲或進(jìn)行頻譜分析。

廣義地講，任何一種信息傳輸?shù)耐ǖ溃劫|(zhì)）都可視為是一種濾波器。因?yàn)椋魏窝b置的響應(yīng)特性都是激勵頻率的函數(shù)，都可用頻域函數(shù)描述其傳輸特性。因此，構(gòu)成測試系統(tǒng)的任何一個環(huán)節(jié)，諸如機(jī)械系統(tǒng)、電氣網(wǎng)絡(luò)、儀器儀表甚至連接導(dǎo)線等等，都將在一定頻率范圍內(nèi)，按其頻域特性，對所通過的信號進(jìn)行變換與處理。

本節(jié)所述內(nèi)容屬于模擬濾波范圍。主要介紹模擬濾波器原理、種類、數(shù)學(xué)模型、主要參數(shù)、ＲＣ濾波器設(shè)計。盡管數(shù)字濾波技術(shù)已得到廣泛應(yīng)用，但模擬濾波在自動檢測、自動控制以及電子測量儀器中仍被廣泛應(yīng)用。　帶通濾波器

二、濾波器分類

⒈根據(jù)濾波器的選頻作用分類

⑴　低通濾波器

　　從0～f2頻率之間，幅頻特性平直，它可以使信號中低于f2的頻率成分幾乎不受衰減地通過，而高于f2的頻率成分受到極大地衰減。

⑵　高通濾波器

與低通濾波相反，從頻率f1～∞，其幅頻特性平直。它使信號中高于f1的頻率成分幾乎不受衰減地通過，而低于f1的頻率成分將受到極大地衰減。

⑶　帶通濾波器

它的通頻帶在f1～f2之間。它使信號中高于f1而低于f2的頻率成分可以不受衰減地通過，而其它成分受到衰減。

⑷　帶阻濾波器

與帶通濾波相反，阻帶在頻率f1～f2之間。它使信號中高于f1而低于f2的頻率成分受到衰減，其余頻率成分的信號幾乎不受衰減地通過。

 



低通濾波器和高通濾波器是濾波器的兩種最基本的形式，其它的濾波器都可以分解為這兩種類型的濾波器，例如：低通濾波器與高通濾波器的串聯(lián)為帶通濾波器，低通濾波器與高通濾波器的并聯(lián)為帶阻濾波器。

低通濾波器與高通濾波器的串聯(lián) 

低通濾波器與高通濾波器的并聯(lián)

⒉　根據(jù)“最佳逼近特性”標(biāo)準(zhǔn)分類

⑴　巴特沃斯濾波器

從幅頻特性提出要求，而不考慮相頻特性。巴特沃斯濾波器具有最大平坦幅度特性，其幅頻響應(yīng)表達(dá)式為：


 

⑵　切比雪夫?yàn)V波器

切貝雪夫?yàn)V波器也是從幅頻特性方面提出逼近要求的，其幅頻響應(yīng)表達(dá)式為：


 

 

 

ε是決定通帶波紋大小的系數(shù)，波紋的產(chǎn)生是由于實(shí)際濾波網(wǎng)絡(luò)中含有電抗元件；Tn是第一類切貝雪夫多項(xiàng)式。

與巴特沃斯逼近特性相比較，這種特性雖然在通帶內(nèi)有起伏，但對同樣的n值在進(jìn)入阻帶以后衰減更陡峭，更接近理想情況。ε值越小，通帶起伏越小，截止頻率點(diǎn)衰減的分貝值也越小，但進(jìn)入阻帶后衰減特性變化緩慢。切貝雪夫?yàn)V波器與巴特沃斯濾波器進(jìn)行比較，切貝雪夫?yàn)V波器的通帶有波紋，過渡帶輕陡直，因此，在不允許通帶內(nèi)有紋波的情況下，巴特沃斯型更可取；從相頻響應(yīng)來看，巴特沃斯型要優(yōu)于切貝雪夫型，通過上面二圖比較可以看出，前者的相頻響應(yīng)更接近于直線。

⑶　貝塞爾濾波器

只滿足相頻特性而不關(guān)心幅頻特性。貝塞爾濾波器又稱最平時延或恒時延濾波器。其相移和頻率成正比，即為一線性關(guān)系。但是由于它的幅頻特性欠佳，而往往限制了它的應(yīng)用。

二、理想濾波器

理想濾波器是指能使通帶內(nèi)信號的幅值和相位都不失真，阻帶內(nèi)的頻率成分都衰減為零的濾波器，其通帶和阻帶之間有明顯的分界線。也就是說，理想濾波器在通帶內(nèi)的幅頻特性應(yīng)為常數(shù)，相頻特性的斜率為常值；在通帶外的幅頻特性應(yīng)為零。

理想低通濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)為:


 

其幅頻及相頻特性曲線為：

分析上式所表示的頻率特性可知，該濾波器在時域內(nèi)的脈沖響應(yīng)函數(shù) h（t）為 sinc函數(shù)，圖形如下圖所示。脈沖響應(yīng)的波形沿橫坐標(biāo)左、右無限延伸，從圖中可以看出，在t=0時刻單位脈沖輸入濾波器之前，即在t<0時，濾波器就已經(jīng)有響應(yīng)了。顯然，這是一種非因果關(guān)系，在物理上是不能實(shí)現(xiàn)的。這說明在截止頻率處呈現(xiàn)直角銳變的幅頻特性，或者說在頻域內(nèi)用矩形窗函數(shù)描述的理想濾波器是不可能存在的。實(shí)際濾波器的頻域圖形不會在某個頻率上完全截止，而會逐漸衰減并延伸到∞。



 

 

三、實(shí)際濾波器

⒈　實(shí)際濾波器的基本參數(shù)

理想濾波器是不存在的，在實(shí)際濾波器的幅頻特性圖中，通帶和阻帶之間應(yīng)沒有嚴(yán)格的界限。在通帶和阻帶之間存在一個過渡帶。在過渡帶內(nèi)的頻率成分不會被完全抑制，只會受到不同程度的衰減。當(dāng)然，希望過渡帶越窄越好，也就是希望對通帶外的頻率成分衰減得越快、越多越好。因此，在設(shè)計實(shí)際濾波器時，總是通過各種方法使其盡量逼近理想濾波器。

如圖所示為理想帶通（虛線）和實(shí)際帶通（實(shí)線）濾波器的幅頻特性。由圖中可見，理想濾波器的特性只需用截止頻率描述，而實(shí)際濾波器的特性曲線無明顯的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，兩截止頻率之間的幅頻特性也非常數(shù)，故需用更多參數(shù)來描述。

⑴　紋波幅度d

在一定頻率范圍內(nèi)，實(shí)際濾波器的幅頻特性可能呈波紋變化，其波動幅度d與幅頻特性的平均值A(chǔ)0相比，越小越好，一般應(yīng)遠(yuǎn)小于-3dB。

⑵　截止頻率fc

幅頻特性值等于0.707A0所對應(yīng)的頻率稱為濾波器的截止頻率。以A0為參考值，0.707A0對應(yīng)于-3dB點(diǎn)，即相對于A0衰減3dB。若以信號的幅值平方表示信號功率，則所對應(yīng)的點(diǎn)正好是半功率點(diǎn)。

⑶　帶寬B和品質(zhì)因數(shù)Q值

上下兩截止頻率之間的頻率范圍稱為濾波器帶寬，或-3dB帶寬，單位為Hz。帶寬決定著濾波器分離信號中相鄰頻率成分的能力——頻率分辨力。在電工學(xué)中，通常用Q代表諧振回路的品質(zhì)因數(shù)。在二階振蕩環(huán)節(jié)中，Q值相當(dāng)于諧振點(diǎn)的幅值增益系數(shù)， Q=1/2ξ（ξ——阻尼率）。對于帶通濾波器，通常把中心頻率f0（ ）和帶寬 B之比稱為濾波器的品質(zhì)因數(shù)Q。例如一個中心頻率為500Hz的濾波器，若其中-3dB帶寬為10Hz，則稱其Q值為50。Q值越大，表明濾波器頻率分辨力越高。

⑷　倍頻程選擇性W

在兩截止頻率外側(cè)，實(shí)際濾波器有一個過渡帶，這個過渡帶的幅頻曲線傾斜程度表明了幅頻特性衰減的快慢，它決定著濾波器對帶寬外頻率成分衰阻的能力。通常用倍頻程選擇性來表征。所謂倍頻程選擇性，是指在上截止頻率fc2與 2fc2之間，或者在下截止頻率fc1與fc1/2之間幅頻特性的衰減值，即頻率變化一個倍頻程時的衰減量


 

 

或

 

 

 

倍頻程衰減量以dB/oct表示（octave，倍頻程）。顯然，衰減越快（即W值越大），濾波器的選擇性越好。對于遠(yuǎn)離截止頻率的衰減率也可用10倍頻程衰減數(shù)表示之。即［dB／10oct］。

⑸　濾波器因數(shù)（或矩形系數(shù)） 

濾波器因數(shù)是濾波器選擇性的另一種表示方式 ，它是利用濾波器幅頻特性的 -60dB帶寬與-3dB帶寬的比值來衡量濾波器選擇性，記作 ，即 


理想濾波器 =1，常用濾波器 =1－5，顯然， 越接近于1，濾波器選擇性越好。

四、RC無源濾波器

在測試系統(tǒng)中，常用RC濾波器。因?yàn)樵谶@一領(lǐng)域中，信號頻率相對來說不高。而RC濾波器電路簡單，抗干擾性強(qiáng)，有較好的低頻性能，并且選用標(biāo)準(zhǔn)的阻容元件，所以在工程測試的領(lǐng)域中最經(jīng)常用到的濾波器是RC濾波器。

⒈　一階RC低通濾波器

RC低通濾波器的電路及其幅頻、相頻特性如下圖所示

設(shè)濾波器的輸入電壓為ex，輸出電壓為ey，電路的微分方程為 


 

 

這是一個典型的一階系統(tǒng)。令 =RC，稱為時間常數(shù)，對上式取拉氏變換，有


或


其幅頻、相頻特性公式為：

 

 

分析可知，當(dāng)f很小時，A(f)=1，信號不受衰減地通過；當(dāng)f很大時，A(f)=0，信號完全被阻擋，不能通過。低通濾波器的上載止頻率


⒉　一階RC高通濾波器

RC高通濾波器的電路及其幅頻、相頻特性如下圖所示

設(shè)濾波器的輸入電壓為ex輸出電壓為ey，電路的微分方程為 ：


 

 

同理，令 =RC，對上式取拉氏變換，有：

 


　或　

 

其幅頻、相頻特性公式為：

 
 

分析可知，當(dāng)f很小時，A(f)=0，信號完全被阻擋，不能通過；當(dāng)f很大時，A(f)=1，信號不受衰減的通過。

⒊　RC帶通濾波器

帶通濾波器可以看作為低通濾波器和高通濾波器的串聯(lián)，其電路及其幅頻、相頻特性如下圖所示。

其幅頻、相頻特性公式為 ：


 


式中H1(s)為高通濾波器的傳遞函數(shù)，H2(s)為低通濾波器的傳遞函數(shù)。有：

 

 

這時極低和極高的頻率成分都完全被阻擋，不能通過；只有位于頻率通帶內(nèi)的信號頻率成分能通過。

下截止頻率: 

上截止頻率: 

應(yīng)注意，當(dāng)高、低通兩級串聯(lián)時，應(yīng)消除兩級耦合時的相互影響，因?yàn)楹笠患壋蔀榍耙患壍摹柏?fù)載”，而前一級又是后一級的信號源內(nèi)阻。實(shí)際上兩級間常用射極輸出器或者用運(yùn)算放大器進(jìn)行隔離。所以實(shí)際的帶通濾波器常常是有源的。有源濾波器由RC調(diào)諧網(wǎng)絡(luò)和運(yùn)算放大器組成。運(yùn)算放大器既可起級間隔離作用，又可起信號幅值的放大作用。

五、模擬濾波器的應(yīng)用

模擬濾波器在測試系統(tǒng)或?qū)Ｓ脙x器儀表中是一種常用的變換裝置。例如帶通濾波器用作頻譜分析儀中的選頻裝置；低通濾波器用作數(shù)字信號分析系統(tǒng)中的抗頻混濾波；高通濾波器被用于聲發(fā)射檢測儀中剔除低頻干擾噪聲；帶阻濾波器用作電渦流測振儀中的陷波器等。

用于頻譜分析裝置中的帶通濾波器，可根據(jù)中心頻率與帶寬之間的數(shù)值關(guān)系，分為兩種 

一種是帶寬B不隨中心頻率而變化，稱為恒帶寬帶通濾波器，如圖所示，其中心頻率處在任何頻段上時，帶寬都相同；



另一種是帶寬B與中心頻率的比值是不變的，稱為恒帶寬比帶通濾波器，如圖所示，其中心頻率越高，帶寬也越寬。


 

 

一般情況下，為使濾波器在任意頻段都有良好的頻率分辨力，可采用恒帶寬帶通濾波器（如收音機(jī)的選頻）。所選帶寬越窄，則頻率分辨力越高，但這時為覆蓋所要檢測的整個頻率范圍，所需要的濾波器數(shù)量就很大。因此，在很多時候，恒帶寬帶通濾波器不一定做成固定中心頻率的，而是利用一個參考信號，使濾波器中心頻率跟隨參考信號的頻率而變化。在做信號頻譜分析的過程中，參考信號是由可作頻率掃描的信號發(fā)生器供給的。這種可變中心頻率的恒帶寬帶通濾波器被用于相關(guān)濾波和掃描跟蹤濾波中。

恒帶寬比帶通濾波器被用于倍頻程頻譜分析儀中，這是一種具有不同中心頻率的濾波器組，為使各個帶通濾波器組合起來后能覆蓋整個要分析的信號頻率范圍，其中心頻率與帶寬是按一定規(guī)律配置的。

假若任一個帶通濾波器的下截止頻率為fc1，上截止頻率為fc2，令fc1與fc2之間的關(guān)系為：

fc1=2nfc1

式中n值稱為倍頻程數(shù)，若n=1，稱為倍頻程濾波器；n=1/3，則稱為1/3倍頻程濾波器。濾波器的中心頻率f0取為幾何平均值，即：


 

根據(jù)上述兩式，可以得：



則濾波器帶寬：



如果用濾波器的品質(zhì)因數(shù)Q值來表示，則有：


故倍頻程濾波器，若n=l，則Q=1.41；若n=1/3，則Q=4.38；若n=1/5，則Q=7.2。倍頻數(shù)n值越小，則Q值越大，表明濾波器分辨力越高。根據(jù)上述關(guān)系，就可確定出常用倍頻程濾波器的中心頻率f0和帶寬B值。

為了使被分析信號的頻率成分不致丟失，帶通濾波器組的中心頻率是倍頻程關(guān)系，同時帶寬又需是鄰接式的，通常的做法是使前一個濾波器的一3dB上截止頻率與后一個濾波器的一3dB下截止頻率相一致，如圖所示。這樣的一組濾波器將覆蓋整個頻率范圍，稱之為“鄰接式”的。

下圖表示了鄰接式倍頻程濾波器，方框內(nèi)數(shù)字表示各個帶通濾波器的中心頻率，被分析信號輸入后，輸入、輸出波段開關(guān)順序接通各濾波器，如果信號中有某帶通濾波器通頻帶內(nèi)的頻率成分，那么就可以在顯示、記錄儀器上觀測到這一頻率成分。



六、思考題

(1) 已知理想波形器

 

試求，當(dāng) 函數(shù)通過到濾波形后的： 

1）時域波形 

2）頻譜 

3）為什么說該濾波器的是非因果系統(tǒng) 

(2) 試求調(diào)幅信號xa(t)=(1+cost)cos100t通過帶通濾波器時的輸出信號ya(t)及其頻譜Ya(w)。帶通濾波形的傳輸特性為:


(3) 調(diào)幅波是否可以看做為是載波與調(diào)制信號的疊加，為什麼？ 

(4) 什麼是濾波器的品質(zhì)因數(shù)？它與濾波器頻率分辨力有何關(guān)系？

(5) 請用一階RC低通濾波器和RC高通濾波器構(gòu)成RC帶阻濾波器，畫出其電路圖。

(6) 已知調(diào)制信號是幅值為10，周期為１秒的方波信號，載波信號是幅值為１，頻率為10Hz正弦波信號。

1)畫出已調(diào)制波的波形

2)畫出已調(diào)制波的頻譜

(7) 什麼是調(diào)制，調(diào)制的目的是什麼？ 
(8) 調(diào)頻信號與調(diào)幅信號有何相同之處？有何不同之處？

(9) 低通、高通、帶通、帶阻濾波器各有什麼特點(diǎn)，畫出它們的理想幅頻特性圖。

(10) 用Signal VBScript編程，產(chǎn)生習(xí)題6的已調(diào)制波信號波形，然后再畫出同步解調(diào)時低通濾波前的波形。