它的提出者艾米·諾特幾乎少有人知，她被譽為有史以來最偉大的女數學家，是現代數學之母、抽象代數之母，是可以和高斯、歐拉并列的數學天才，20世紀數學界有兩個人是無法忽略的，他們對20世紀以來的數學起到了引領性的作用，一個是“數學之王”希爾伯特，希爾伯特最偉大的成就是培育了一大批數學家，可以說撐起了 20 世紀數學的半邊天，他提出的“希爾伯特”方案至今仍對數學研究的方向起到引領作用。

而另外一位就是諾特，諾特徹底改變了環、域和代數的理論，使抽象代數學真正成為一門數學分支，她允許學者們無條件地使用她的工作成果，也因此被人們尊稱為“當代數學文章的合著者”，她開創的諾特學派至今仍在影響數學界，被帕維爾·亞歷山德羅夫、阿爾伯特·愛因斯坦、讓·迪厄多內、赫爾曼·外爾和諾伯特·維納形容為數學史上最重要的女人。

然而諾特本人是不幸的，她的父親雖然是著名數學家，著名的“不等式之王” 高丹教授是父親的密友，在他們的影響下，諾特在數學上具有極大的天賦。

如果諾特沒有生活在那樣的環境，她的成就會更大，這是科學史上的遺憾。

然而當時的哥廷根大學沒有專門的數學系。數學、語言學、歷史學都劃在哲學系里，聘請講授必須經過哲學教授會議批準。希爾伯特的努力遭到教授會議中語言學家和歷史學家的極力反對，他們出于對婦女的傳統偏見，連聘為“私人講師”這樣的請求也斷然拒絕。

1918年，她在希爾伯特等人的思想影響下，發表了兩篇重要論文。其中一篇，就是我們今天要講的諾特定理。

我們知道，物理學中有兩個著名的概念；守恒定律和對稱性。1748年7月16日，羅蒙諾索夫在寫給偉大的數學家萊昂哈德·歐拉的信中做出了首次闡述了守恒定律。

守恒定律被譽為科學史上最偉大的發現之一，也是自然界最普遍、最重要的基本定律之一。從物理、化學到地質、生物，大到宇宙天體。小到原子核內部，只要有能量轉化，就一定服從能量守恒的規律。

人們對于物理學中對稱性的研究其實很早，對稱性是現代物理學中的一個核心概念，系統從一個狀態變換到另一個狀態，如果這兩個狀態等價，則說系統對這一變換是對稱的。或者說給系統一個“操作”，如果系統從一個狀態變到另一個等價的狀態，則說系統對這一操作是對稱的。

德國數學家外爾是把對稱性運用到物理學中并意識到規范對稱重要性的第一人。由此也為后來的規范場論奠定了基礎。外爾在自己的專著《對稱》中對對稱性有一個簡單明了的闡述：如果你對一個物體進行某些操作，在這些操作完成之后，它看起來和之前是一樣的，那么這個物體就是對稱的。例如，球體是完全對稱的：無論你朝哪個方向轉動球體，它看起來都是一樣的。同樣地，對稱性也普遍存在于物理學定律中：物理方程在時間或空間的不同位置不會改變。

而系統規范地提出對稱性這一概念的還是 1918 年諾特提出的諾特定理，諾特定理可表述為：對于力學體系的每一個連續的對稱變換，都有一個守恒量與之對應。對稱變換是力學體系在某種變換下不變。

由諾特定理，能量守恒來自于時間的平移對稱性。比如火箭發射會將燃料中的化學能轉化為動能和勢能，由于時間的對稱性，因此總能量保持不變，也就是無論你今天發射火箭還是明天發射火箭，你化學能轉化為動能和勢能不可能會隨著時間而改變的。再比如我們把水提升到蓄水池中,所需要做的功是不會隨著時間改變的，不可能說今天重力就變弱了，把水提升到蓄水池中,所需要做的功就會變少。

所以在經典力學體系下，諾特定理中能量守恒對應時間平移不變性，動量守恒對應空間平移不變性，角動量守恒對應于旋轉不變性。

宇稱守恒都符合粒子的三個基本的對稱方式：

• 一個是粒子和反粒子互相對稱，即對于粒子和反粒子，定律是相同的，這被稱為電荷（C）對稱。

• 一個是空間反射對稱，即同一種粒子之間互為鏡像，它們的運動規律是相同的，這叫宇稱（P）。

• 一個是時間反演對稱，即如果我們顛倒粒子的運動方向，粒子的運動是相同的，這被稱為時間（T）對稱。

諾特定理可以說揭示了自然界最深層次的奧秘，并且它還成為了理論物理的中心結果之一，諾特定理和量子力學深刻相關，因為它僅用經典力學的原理就可以認出和海森堡測不準原理相關的物理量（譬如位置和動量）。可以說諾特定理是罕見適用于經典力學與量子力學的偉大定理之一，因為我們知道經典力學和量子力學的研究領域并不相同。

在發現守恒定律的任何地方，物理學家都在尋找對稱性，反之亦然。比如人們就在電磁力中成功發現了電荷守恒，而對于諾特定理的研究、深入、擴展，也讓粒子物理學的標準模型得到不斷的發展。

可以說，諾特定理涵蓋的對稱性與守恒性兩大概念，是已知物理學的基礎。也是指導現代物理學發展的最重要的數學定理之一，對于實現宇宙大一統、統一四大力則更缺少不了諾特定理，諾貝爾物理學獎得主弗蘭克·維爾切克說：“諾特定理一直是20世紀和21世紀物理學的指路明燈。”

而諾特定理除了應用于數學領域，是奇異積分方程的基本定理。它并不限于柯西型核的奇異積分方程。

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