19世紀末，德國有位天才的數學教授叫閔可夫斯基，他曾是愛因斯坦的老師。愛因斯坦因為經常不去聽課，便被他罵作“懶蟲”。萬萬沒想到，就是這個“懶蟲”后來創立了著名的狹義相對論和廣義相對論。閔可夫斯基受到很大震動，他把相對論中的時間和空間統一成“四維時空”，這是近代物理發展史上的關鍵一步。
在閔可夫斯基的一生中，把愛因斯坦罵作“懶蟲”恐怕還算不上是最尷尬的事…… 一天，閔可夫斯基剛走進教室，一名學生就遞給他一張紙條，上面寫著：“如果把地圖上有共同邊界的國家涂成不同顏色，那么只需要四種顏色就足夠了，您能解釋其中的道理嗎？”閔可夫斯基微微一笑，對學生們說：“這個問題叫四色問題，是一個著名的數學難題。其實，它之所以一直沒有得到解決，僅僅是由于沒有第一流的數學家來解決它。” 為證明紙條上寫的不是一道大餐，只是小菜一碟，閔可夫斯基決定當堂掌勺，問題就會變成定理……
下課鈴響了，可“菜”還是生的。一連好幾天，他都掛了黑板。后來有一天，閔可夫斯基走進教室時，忽然雷聲大作，他借此自嘲道：“哎，上帝在責備我狂妄自大呢，我解決不了這個問題。”當時，由大數學家黎曼、康托爾、龐加萊等創立的拓撲學之發展可謂一日千里，后來竟蓋過大數學家高斯寵愛的數論，成為雍容華貴的數學女王。四色問題就是屬于拓撲學范疇的一個大問題。拓撲學不僅引進了全新的研究對象，也引進了全新的研究方式。對數學來說，它不啻是一場革命。回顧拓撲學的歷史，就可以說明為什么四色問題對于20世紀數學來說是重要的。通俗地說，連續變換就是你可以捏、拉一個東西，但不能將其扯破，也不能把原先不在一起的兩個點粘在一起。比如，對于26個（大寫）英文字母，一些拓撲學家就認為可將其分成6類：第一類：D，O；
第二類：H、I
第三類：C，L，M，N，S，U，V，W，Z。
第四類：K、X
第五類：A、R
第六類：E、F、G、J、T第一類在連續變換下都可以變成O，第二類都可變成H,第三類則都可變成一條直線，第四類是一個叉，第五類是A，第六類是T。還有一些字母單獨歸一組：Y、Q、B、P
因為4是平面的色數（它也是一種示性數，可見示性數有很多種），體現了平面的拓撲性質，與國家的形狀無關，將平面彎成曲面也沒關系。數學家必須確定這個數究竟是5還是4，這很重要。如果國家分布在一個環面上，畫地圖最多得要七種顏色。吊起數學家胃口的還有一個原因。乍一看，環面似乎更復雜，事實上，環面的七色定理卻比較容易證明，希伍德當時就做到了；到1968年，其他所有復雜曲面的色數均已確定，唯有平面（或球面）的四色問題依然故我。看來，平面沒有人們想象的那么簡單。1913年，伯克霍夫引進了一些新的技巧，導致1939年弗蘭克林證明22國以下的地圖都可以用四色著色。1950年，溫恩將22國提高為35。1968年，奧爾又達到了39國。1975年有報道，52國以下的地圖用四色足夠。可見，其進展極其緩慢。不過，情況也不是過分悲觀。數學家希奇早在1936年就認為，討論的情況是有限的，不過非常之大，大到可能有10000種。對于巨大而有限的數，最好由誰去對付？今天的人都明白，計算機！從1950年起，希奇就與其學生丟萊研究怎樣用計算機去驗證各種類型的圖形。這時計算機才剛剛發明。兩人的思想可謂十分超前。1972年起，黑肯與阿佩爾開始對希奇的方法作重要改進。到1976年，他們認為問題已經壓縮到可以用計算機證明的地步了。于是從1月份起，他們就在伊利諾伊大學的IBM360機上分1482種情況檢查，歷時1200個小時，作了100億個判斷，最終證明了四色定理。在當地的信封上蓋“Four colorssutfice”（四色足夠了）的郵戳，就是他們想到的一種傳播這一驚人消息的別致的方法。
費馬在閱讀丟番圖（Diophatus）《算術》拉丁文譯本時，曾在第11卷第8命題旁寫道：“將一個立方數分成兩個立方數之和，或一個四次冪分成兩個四次冪之和，或者一般地將一個高于二次的冪分成兩個同次冪之和，這是不可能的。關于此，我確信已發現了一種美妙的證法 ，可惜這里空白的地方太小，寫不下。”
（拉丁文原文: "Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet."）
1976年的一天，《華盛頓郵報》于頭版頭條報道了一條數學新聞。文中記敘了這樣一個故事：70年代中期，美國各所名牌大學校園內，人們都像發瘋一般，夜以繼日，廢寢忘食地玩弄一種數學游戲。這個游戲十分簡單：任意寫出一個自然數N（N≠0），并且按照以下的規律進行變換：如果是個奇數，則下一步變成3N+1。
如果是個偶數，則下一步變成N/2。不單單是學生，甚至連教師、研究員、教授與學究都紛紛加入。為什么這種游戲的魅力經久不衰？因為人們發現，無論N是怎樣一個非零自然數，最終都無法逃脫回到谷底1。準確地說，是無法逃出落入底部的4-2-1循環，永遠也逃不出這樣的宿命。冰雹的最大魅力在于不可預知性。英國劍橋大學教授John Conway找到了一個自然數27。雖然27是一個貌不驚人的自然數，但是如果按照上述方法進行運算，則它的上浮下沉異常劇烈：首先，27要經過77步驟的變換到達頂峰值9232，然后又經過32步驟到達谷底值1。全部的變換過程（稱作“雹程”）需要111步，其頂峰值9232，達到了原有數字27的342倍多，如果以瀑布般的直線下落（2的N次方）來比較，則具有同樣雹程的數字N要達到2的111次方。其對比何其驚人！但是在1到100的范圍內，像27這樣的劇烈波動是沒有的（54等27的2的次方倍數的數除外）。經過游戲的驗證規律，人們發現僅僅在兼具4k和3m+1（k,m為自然數）處的數字才能產生冰雹猜想中“樹”的分叉。所以在冰雹樹中，16處是第一處分叉，然后是64……以后每隔一節，產生出一支新的支流。自從Conway發現了神奇的27之后，有專家指出，27這個數字必定只能由54變來，54又必然從108變來，所以，27之上，肯定可以出現不亞于2n的強大支流——33*2n(n=1，2，3……)，然而，27到4-2-1數列和本流2到4-2-1數列要遙遠的多。按照機械唯物論的觀點，從27開始逆流而上的數列群才能叫做本源，盡管如此，按照“直線下瀉”的觀點，一般依然把1-2-4-8……2n的這一支看作是“干流”。等差數列驗證法，此方法是根據冰雹猜想的驗證規則而建立的一種驗證方法，是以無限的等差數列來對付無限的自然數。首項偶數，公差是偶數，那么數列上的所有自然數都是偶數，全體數列除于2，如果首項是奇數公差是偶數，那么數列上全體自然數都是奇數，全體乘上3再加1。如果公差是奇數，首項也是奇數，那么第奇數項必定都是奇數則乘上3再加1，第偶數項必定都是偶數,則除于2。如果公差是奇數，首項是偶數，那么第奇數項必定都是偶數，則除于2，第偶數項必定都是奇數，則乘上3再加1。按照這樣的計算規則計算下去，會遇到許多新的問題，考驗驗證者的智商。比如偶數的通項公式是2n，因為都是偶數所以除于2，得到n，這就是自然數。按照忽略偶數不記錄的驗證方法進行驗證，第一個被驗證的奇數有可能是能被3整除的奇數，也有可能是不能被3整除的奇數。但是所到達所歸結的第二個奇數，以及第三個奇數（假設存在），整個過程所到達所遇到所歸結所訪問到的每一個奇數，必定都不能再被3整除了。如果都從從能被3整除的奇數開始驗證，路徑上所遇到所歸結的所到達所訪問到的每一個奇數都必定不能再被3整除了，最終都能歸結于1，那么必定遍歷所有的奇數（遍歷是離散數學的概念）。如果都從不能被3整除的奇數開始驗證，那么路徑上所遇到所到達所歸結的所訪問到的每一個奇數必定都不可能再被3整除了，最終都歸結于1（等于說是漏下能被3整除的奇數沒有被驗證）。所以在順向的冰雹猜想驗證過程中，可以把能被3整除的奇數都命名為最起始點的奇數，1是終止點的奇數，而在逆向的冰雹猜想驗證過程中則是相反的，1是最起始點的奇數，而能被3整除的奇數則是終止點的奇數。事實上在驗證的過程中，不能被3整除的奇數，都在存在數量無窮多的上一步的奇數，占1/3的比例是能被3整除的奇數，占2/3的比例是不能被3整除的奇數，這一現象都跟自然數的情況出奇地巧合了。又稱為角谷猜想，因為是一個名叫角谷的日本人把它傳到中國。角谷猜想又叫敘古拉猜想。它的一個推廣是克拉茨問題，下面簡要說說這個問題：50年代開始,在國際數學界廣泛流行著這樣一個奇怪有趣的數學問題：任意給定一個自然數x，如果是偶數，則變換成x/2；如果是奇數，則變換成3x+1。此后，再對得數繼續進行上述變換。例如x=52，可以陸續得出26，13，40，20，10，5，16，8，4，2，1。如果再做下去就得到循環：(4，2，1)。再試其他的自然數也會得出相同的結果。這個叫做敘古拉猜想。{ x/2 (x是偶數)
C(x)=3x+1 (x是奇數) }問題是，從任意一個自然數開始,經過有限次函數C迭代,能否最終得到循環(4,2,1)，或者等價地說，最終得到1?據說克拉茨(L.Collatz)在1950年召開的一次國際數學家大會上談起過，因而許多人稱之為克拉茨問題。但是后來也有許多人獨立地發現過同一個問題，所以，從此以后也許為了避免引起問題的歸屬爭議,許多文獻稱之為3x+1問題。克拉茨問題吸引人之處在于C迭代過程中一旦出現2的冪，問題就解決了，而2的冪有無窮多個，人們認為只要迭代過程持續足夠長，必定會碰到一個2的冪使問題以肯定形式得到解決。正是這種信念使得問題每到一處，便在那里掀起一股“3x+1問題”狂熱，不論是大學還是研究機構都不同程度地卷入這一問題。許多數學家開始懸賞征解，有的500美元，有的1000英鎊。日本東京大學的米田信夫已經對240大約是11000億以下的自然數做了檢驗.1992年李文斯(G.T.Leavens)和弗穆蘭(M.Vermeulen)已經對5.6*1013的自然數進行了驗證,均未發現反例.題意如此清晰,明了,簡單,連小學生都能看懂的問題,卻難到了20世紀許多大數學家.著名學者蓋伊(R.K.Guy)在介紹這一世界難題的時候,竟然冠以"不要試圖去解決這些問題"為標題.經過幾十年的探索與研究,人們似乎接受了大數學家厄特希(P.Erdos)的說法：“數學還沒有成熟到足以解決這樣的問題！”有人提議將3x+1問題作為下一個費爾馬問題。下面是我對克拉茨問題的初步研究結果,只是發現了一點點規律,距離解決還很遙遠。克拉茨命題：設 n∈N，并且f(n)= n/2 (如果n是偶數) 或者 3n+1 (如果n是奇數)
現用f1(n)表示f(n),f2(n)=f(f(n)),...fk(n)=f(f(...f(n)...))。
則存在有限正整數m∈N,使得fm(n)=1。(以下稱n/2為偶變換,3n+1為奇變換,并且稱先奇變換再偶變換為全變換)文章來源：超級數學建模
IEEE Spectrum
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