今天，我想來講一下 20 世紀的那一場最令人震撼的數學沖突。

那場沖突的中心人物是布勞威爾和希爾伯特。

開幕

在出場前，請容我禮貌性地介紹一下這兩位大人物。

魯伊茲?布勞威爾（Luitzen Brouwer），荷蘭數學家，他否認準確交流的可能性和語言的作用，強調數學直覺，被視為直覺主義學派的創始人和代表人物，這使他對形式主義學派多多少少都有點偏見。

而戴維?希爾伯特 (David Hilbert，1862~1943) 則是一位德國著名數學家，提出了 23 個數學問題，被認為是 20 世紀數學的至高點，他被稱為 "數學界的無冕之王"，是形式主義學派代表人物，主要觀點是：將數學看成是形式系統的科學。

其實在這一場數學沖突大爆發前，兩人還是惺惺相惜的“好友”。

在 1909 年，他們在席凡寧根會面了，布勞威爾向希爾伯特展示了他的語言和數學水平，后來給一位朋友的回信中，他形容希爾伯特是“世界上首屈一指的數學家”。

而在希爾伯特眼里，布勞威爾是一個難得的數學天才，他把這種“欣賞”也放在了行動上：1912 年，希爾伯特為布勞威爾推薦了阿姆斯特丹大學的一個教授職位，1919 年，希爾伯特還給他提供了哥廷根大學的一個教授職位，這絕對是一個晉升，但布勞威爾拒絕了（在將要到來的決裂，這或許是一個原因）。

隨著布勞威爾在拓撲學上的成就和他在基礎數學上的觀念為他贏得的成功，地位的逐漸升高，一切就不一樣了。

一場戰爭正在滋生

1908 年，布勞威爾寫出了一篇名為《關于邏輯原理的不可靠性》，這篇論文認為運用排中律的數學證明是不合理的。

排中律是一個基本的邏輯定律，也是一個常用的數學技巧，指每一個數學命題要么對，要么錯，沒有其他可能性。

布勞威爾不認同，他堅持認為第三種情況是存在的。

1912 年，在阿姆斯特丹大學的數學教授就職演說上，布勞威爾進一步探討了他認為與這個“定律”有聯系的問題。

他經常質疑建立在排中律基礎上的數學證明，稱他們是“所謂的證明”。

1920 年，他聲稱“將排中律用作數學證明的一部分，是不允許的……它只具有學理和啟發的價值，因此那些在證明中不可避免使用這個定律是缺乏數學內涵的。”

后來希爾伯特實在忍無可忍，回應道：“把排中律排除在數學之外，就像禁止拳手使用拳頭。”

希爾伯特是在 23 歲時以一篇關于不變量理論的論文擠身數學界的，在這篇論文中，它使用了非構造性的證明，而他的證明正是依賴于對無窮的對象使用排中律。

1917 年至 1920 年，布勞威爾開始進一步發展他的直覺主義觀點，包括沿著直覺主義思路發展集合論。

在 1919 年的《直覺主義的集合論》，布勞威爾指出他早期的拓撲學研究從直覺主義觀點來看是不正確的。

拓撲學 (topology) 是研究幾何圖形或空間在連續改變形狀后還能保持不變的一些性質的學科，它只考慮物體間的位置關系而不考慮它們的形狀和大小。

在大約 1920 年后，他向外界發布了這些成果，這顯然是對希爾伯特的挑戰。

康托創立集合論，是基于解決微積分的邏輯基礎問題，為了使微積分里面采用的無窮小概念有一個清晰的邏輯基礎。

希爾伯特熱忱地支持康托的集合論與無限數，他認為，為了加強數學的基礎，支持康托的觀念將是必要的。

而且希爾伯特在數學領域所做出的最具影響的貢獻還是著名的幾何基礎和“23 個數學問題”，這里面都涉及到了拓撲學。

不嫌事大的是，外爾這時轉變了立場。

外爾曾是希爾伯特的優秀學生，希爾伯特曾指望他成為一個忠實的追隨者。

1921 年，外爾發表了一篇新文章解釋他的新立場，說在某種程度上，希爾伯特的方法將所有的東西都簡化成了一種游戲。

對于這種變故，希爾伯特看得很重。

開戰

1922 年，希爾伯特終于按耐不住，要反擊了。

他寫了一篇針對布勞威爾和外爾兩人的文章。

他寫道：“杰出的，成就卓越的數學家外爾和布勞威爾正在通過肯定是錯誤的途徑來尋找這些問題的解決方法。”

希爾伯特接著說：“外爾和布勞威爾所做的基本上是沿著以前克羅內克所走的路老路。拋棄所有令他們不快的現象，并按照克羅內克的方式建立專政來加以禁止，他們尋求通過這種方式來為數學樹立基礎，但這意味著肢解并毀壞我們的科學，如果我們追隨這些革命者，我們將冒失去很大一批最寶貴財富的危險.……我相信，就像克羅內克在當年不能消除無理數一樣，今天，外爾與布勞威爾也將行不通他們的計劃。”

在文中，為了回應外爾和布勞威爾的抨擊，他提出了經過修訂的大膽的新方法，這個方法為形式主義的學派樹立了一個更新更牢固的基礎。

他在文中提出了對分析公理一致性的證明的大概想法：“把數論建立在數“1”和符號“+”的基礎上，當我們用這種方法發展數論時，不需要公理，也不可能有任何矛盾產生。”

多年后，利用根岑的新方法，人們意識到希爾伯特的證明理論是一個極好而又有力的數學工具，對計算機科學尤其有幫助。

1928 年，布勞威爾對希爾伯特新方法回應道：“所有這些表明，形式主義從直覺主義那里沒有直接接受任何東西，但卻從中受到很多啟發，而且它還有望受益更多。”因此，形式主義學派應該給直覺主義學派一些贊譽，而不是用輕蔑的語氣攻擊他，甚至提都不提作者的名字。

然而，希爾伯特并不是什么好茬，在一番反擊后，并不愿意就此罷休，他決定開始攻擊！

高潮

1914 年，布勞威爾被任命為備受歡迎的《數學年鑒》編輯部成員，這項任命是一個榮譽，也是對他在數學界里備受尊敬的表現。

從那以后，他謹慎并慢條斯理地為雜志工作著。

盡管如此，他的暴脾氣還是給他帶來麻煩了。

布勞威爾的天才是不容置疑，但對于他的性格，人們用憤世嫉俗，自私自利，神經過敏，情緒化和頑固這樣的詞來描述。

范·達倫寫道：“布勞威爾是一個神經過敏的人，壓力之下。他很容易夸大事實。”

當時克萊因是雜志的主編之一，地位堪稱主編之首，但他決定辭職了，其原因是和布勞威爾發生了爭執。

在這場爭執上，布勞威爾實際上是對的，但他表現得太粗魯了，克萊因決定引退。

在克萊因引退后，希爾伯特接手了他大部分的工作。

克萊因的引退對布勞威爾來說是很不幸的，用今天的話來說，他只能稱為助理編輯，而他的死對頭希爾伯特卻是主編之一。

看到這里，我表示真是細思極恐！果不其然……

在 1928 年 10 月底之前不久，布勞威爾收到了一封來自希爾伯特的辭退信。

這給布勞威爾打擊很大，他把這個突然而來的辭退當作一種直接而重大的侮辱。

隨后，他寫信給他的同事，聲稱這辭退信是希爾伯特在頭腦不健全的時候發出的，是無效的。

對于布勞威爾來說，這是一個嚴重的錯誤，在那種情況下，正如布魯門薩爾所說的，它會被看成是“可怕而惹人憎惡的信”。

在告知失敗后，布勞威爾不屈不撓。

他接下來給希爾伯特夫人寫信，請求她給丈夫吹吹枕邊風，使其改變主意。但輾轉得到的消息是：“在這件事情上，希爾伯特不受任何人的影響”。

同一天（11 月 5 日），布勞威爾在更大的范圍向所有的編輯們傾訴，申明希爾伯特辭退他的理由根本不存在。

但除了愛因斯坦之外的編輯們都表明了鮮明的立場，怕是無法回天了。

于是，布勞威爾和一位普通的編輯比貝爾巴赫一起到柏林拜見出版商斯普林格。

他們發出警告說，如果辭退信被執行，《年鑒》和斯普林格出版社的利益都會受損，因為布勞威爾要創建一個競爭性的雜志。

然而斯普林格并不在意這種威脅。

但這事還沒完，布勞威爾在想：如果愛因斯坦站在我這邊，或許事情還有轉機。

可惜的是……

愛因斯坦回信說：“很遺憾，我像一只無知的羔羊甩入了數學的“狼群”……因此，請允許我保持我的“既不噓又不呸”的態度，也請允許我扮演一個對他們的行為感到不可思議的角色。”

這算是斷了布勞威爾的退路，但他仍不放棄。

他請來律師，給編輯們發了一封信。信里指責希爾伯特在《年鑒》編輯部的“侵占”行為，這破壞了大家對希爾伯特的信任。

在此信之后，布勞威爾來了最后一擊：一封長信。

信中談了他對為什么他不應該被解雇的基本看法，包括對克萊因事件的另一種解釋。

但這些努力都無濟于事……

最后辭退生效了。

很顯然，希爾伯特贏了。

這件事對布勞威爾的傷害很大，以至于他把希爾伯特看成“我的敵人”。

有一次聚會，同為客人的范德瓦爾登稱希爾伯特是他的朋友，布勞威爾憤而起身離開。

在這場戰爭中，真是令人不禁唏噓！

看來數學家也不過是普通人一個，也會有紛爭，嫉妒，爭強！

 文章來源：算數學苑

IEEE Spectrum

《科技縱覽》

官方微信公眾平臺