泰勒展式 (Taylor expansion) 的剩余項救人一命！

在俄國革命期間（1917年左右），數學物理學家塔姆 (Igor Tamm) 外出找食物，在靠近敖德薩 (Odessa) 的鄉間被反共產主義的保安人員逮捕。保安人員懷疑他是反烏克蘭的共產主義者，于是把他帶回總部。

• 頭目問：你是做什么的？

• 塔姆：我是一位數學家。

       頭目心存懷疑，拿著槍，手指扣著扳機，對準他。

       手榴彈也在他的面前晃動。

• 頭目說：好吧，那么一個函數作泰勒展開到第 n 項之后，你就把誤差項算出來。如果你算對了，就放你一條生路，否則就立刻槍斃。

于是塔姆手指發抖，戰戰兢兢地慢慢計算，當他完成時，頭目看過答案，揮手叫他趕快離開。

塔姆在1958年獲得諾貝爾物理獎，但是他從未再遇到或認出這位非凡的頭目。

筆者講授微積分，每教到泰勒定理時，都要順便說這個故事，讓學生警惕一番。

泰勒展開定理就是要利用微分與積分工具，來剖析函數的結構。

假設函數 f 定義在開區間 (a,b) 上，并且 ，當我們知道 f 的資訊越多，對f 的剖析就越精細。

這個資訊包括兩方面，一個是 f 的可微分的階數逐漸提高，這是一種泛泛的條件；另一個是 f 在一點 c 的各階微分系數的階數也不斷增加，這是在一點（局部）的資訊之逐漸加深。

• (i) 若 f 為一階連續可微分，并已知 f(c) 之值，那么由微積分根本定理的 Newton-Leibniz 公式知 
  

  

  亦即 f(x) 可以剖析為清楚的 f(c) 與尚未完全清楚的  兩項之和。

• (ii) 若 f 為二階連續可微分，并且已知 f(c) 與 f'(c) 的值，那么由(1)式與分部積分公式得知 
  

  

  從而 
  

  

  亦即 f(x) 可以剖析為清楚的一次多項式 f(c)+f'(c)(x-c) 與尚未完全清楚的。

• (iii) 若 f 為三階連續可微分，并且已知f(c), f'(c) 與 f''(c) 之值，那么由(2)式與分部積分公式得知 
  

  

  從而 
  

  

  亦即 f(x) 可以剖析成清楚的二次多項式 
  

  

  與尚未完全清楚的剩余項 
  

  

  利用積分的平均值定理，(5)式又可以寫成 
  

  

  我們稱 P2(x) 為二階泰勒多項式。

按上述要領，繼續做下去（數學歸納法），我們就得到如下美麗的泰勒展開定理。

• 泰勒展開定理（1715年）：

• 設函數 f 在區間 (a,b) 上具有 n+1 階連續地可微分，，則對任意 ，f(x) 可以展開成 
  

  

  其中的剩余項（或誤差項）Rn+1(x) 可以表成微分形式或積分形式： 
  

  

  其中 ξ 介于 c 與 x 之間，或 
  

  

注：泰勒（B. Taylor, 1685～1731）是牛頓的學生，具有相當的音樂與藝術才華。他為了探求音律之謎，首開其端用微積分來研究弦振動問題（1713年），約一個世紀之后，富立葉（Fourier）分析出現才達于高潮（1807年）。泰勒也研究投影畫法的幾何學，其美術作品至今仍然被珍藏于倫敦的國家畫廊（the National Gallery）之中。

文章來源：算法數學之美

IEEE Spectrum

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