作為淺談，這里不提及各種繁雜的數學公式和理論推導如Riemann幾何和張量分析，僅對整個相對論的發展脈絡予以宏觀的看法。

• 數學的公理化發展及對物理學的影響

19世紀初葉及以前，任何一個數學家都是物理學家，任何一個物理學家都是數學家。但到19世紀中葉及以后，數學家發覺由于缺乏嚴格的邏輯證明，他們從物理的洞察力得出的結論有錯，而且越錯越離譜。于是就有數學家提出要重整整個數學理論的基礎，即寄期望由幾個簡單的公理出發推導所有一切，就像Euclid幾何的公理化系統一樣。其中對這一觀點最為推崇的就有當時享譽世界的數學大師David Hilbert。由于受到公理化思想的影響，Hilbert甚至提出要將整個物理學公理化(Hilbert第六問題)。盡管Hilbert的設想最終并未獲得成功，但卻間接促成了很多新思想的形成，引領了那個時代主流數學物理的發展。數學這方面例子很多如Weierstrass嚴格分析的建立，Lebesgue積分理論的建立，ZFC公理系統的建立。物理學方面最出名的要算是相對論理論架構的建立了(另一個出名的是量子力學，里頭的數學結構是Hilbert空間)。

David Hilbert

• 融合Maxwell電磁理論和Newton力學

經典宏觀物體的動力學滿足Newton方程，Newton方程在Galilean group作用下協變；經典電動力學滿足Maxwell方程，而Maxwell方程并不是Galilean group下的協變式。這揭示出經典力學定律和經典電磁學定律在本質上具有不同的對稱性(symmetry)。除此之外，通過求解真空Maxwell方程得到關于電磁場的波動方程，發現電磁場在真空中的傳播速度僅與真空磁導率和電容率有關，并沒指明這個速度是在哪個參考系下測量的，這有悖于Galileo相對性原理。當時普遍的看法是電磁場傳播速度是相對于ether這個假想絕對靜止的參考系來說的。直到1887年，美國物理學家Michelson跟Morley做了著名的測量地球和ether之間相對速度的實驗發現光在不同方向的速度是相同的從而否定了ether的存在。以上種種奇怪的現象都暗示了Newton經典力學和Maxwell經典電動力學間有著根本的矛盾。為了調和這對矛盾，擺在面前的有兩種做法。(一). 保留Newton力學而對Maxwell方程做修正；(二). 保留Maxwell電磁理論而對Newton方程做修正。歷史上，出于對Maxwell方程對稱性結構的考量和光速不變的事實，A.Einstein則大膽選擇了第二種做法，并選擇以光速不變原理和(狹義)協變原理作為基本假設(hypothesis)來構建他整個理論。關于協變原理中的協變，指的是四維時空的Lorentz協變而非三維空間的Galileo協變。

James Clerk Maxwell

Maxwell 方程

Newton 運動方程

• 基于兩個基本假設的理論架構

整個相對論就是基于光速不變原理和協變原理(對稱群)兩個基本假設建立的理論架構。不同的是，狹義相對論中使用的對稱是大范圍的對稱(Lorentz group)，而廣義相對論使用的是小范圍的對稱(坐標變換群)。狹義相對論中的時空是所謂的平坦四維Minkowski空間(一種pseudo-Euclidean空間，更確切地說是Lorentz流形)，其上每點定義有(3,1)型非退化Lorentz metric，是個二階張量場(tensor field)，在pseudo-Cartesian坐標系下形式為η_μυ:=(±1)diag(-1,+1,+1,+1)。其中±1的選取和signature有關。都曉得三維Euclidean空間(定義有標準Euclidean metric)中保持三維矢量內積的齊次等距變換是正交變換，這種(旋轉)坐標變換能保證變換前后兩點間距離不變。同理，在四維Minkowski空間(定義有Lorentz metric)中，保持四矢量(four-vector)內積的齊次等距變換是Lorentz變換，這種四維坐標系的‘’旋轉‘’變換同樣能保證變換前后兩個時空點“距離”是守恒的。但由于Lorentz metric的非正定性，這里的“距離”不是一般意義上的Euclidean距離，而是所謂的“四維時空間隔”。這樣，一整套狹義相對論的四維時空幾何結構就建立起來了。隨之而來的相對論動力學結論如 尺縮效應，時間膨脹，質速關系，雙生子佯謬，時空圖，光錐，因果關系，速度變換式，質能等價關系等都是這個全新的四維Minkowski幾何的自然推論。

• 推廣(狹義)協變原理，引力幾何化

A.Einstein曾試圖把引力也囊括到狹義相對論中去。但廢了一翻努力發現這樣是不可行的。基于Minkowski幾何的狹義相對論要求所有資訊的傳輸都不能超過光速，而Newton的萬有引力理論卻允許所謂“超距作用”(action at a distance)，兩者是有根本矛盾的。為了解決這一矛盾，A.Einstein直接把引力與非慣性加速系劃了等號并提出所謂等效原理。其次，狹義相對論中對于慣性系的定義問題并沒有令人滿意的結果。原因是其中存在邏輯上的死循環。狹義相對論只適用于慣性系。那么慣性系如何定義？慣性系是一切不受外力的物體，在其內維持靜止或勻速直線運動狀態不變的坐標系。但不受外力又如何定義？答案只能是 當物體保持靜止或勻速直線運動狀態不變時，物體不受外力。很明顯可以看出，邏輯上陷入了無法避免的死循環。而這一切的根源來自于慣性系在狹義相對論中的特殊地位。所以為了避免邏輯死循環，必須取消慣性系對于描述一般物理學定律的特殊地位，于是A.Einstein推廣了(狹義)協變原理，引入了所謂(廣義)協變原理，認為所有參考系平權，且物理學定律(包括引力定律)在所有參考系下保持數學形式不變。有了等效原理和廣義協變原理兩大基本原理，又有要推廣狹義相對論的目標，就可以研究引力場方程(后稱作Einstein方程)。在Newton引力理論中，引力由引力勢(gravitational potential)來描述。引力勢滿足三維空間Poisson方程。該方程左邊是Laplace二次微分算子作用于引力勢，右邊是物質密度分布的函數。但是，Newton的引力勢是個標量函數(scalar function)，A.Einstein通過思想實驗意識到廣義相對論里描述重力的位勢依賴于方向。于是A.Einstein讓他的數學家朋友M.Grossmann幫他找這樣一個特殊的量。M.Grossmann告訴他，不同于三維Poisson方程中的標量函數會隨著坐標系的選取而發生改變，他所需要的量應當是與坐標系統無關的量，即Riemann幾何中的某種張量(tensor)——Ricci張量，即Riemann曲率張量的二次縮并(曲率張量的跡)，是曲率的某種平均值，滿足Bianchi恒等式，可視為守恒律。A.Einstein利用這條守恒律把引力幾何化。在1912和1913年A.Einstein與M.Grossmann合作的兩篇論文中，他們用Ricci張量去定義空間中的物質分布張量。不過，由于物質張量滿足守恒律，而Ricci張量本身不滿足守恒律，兩者并不相容，A.Einstein意識到自己的方程并未成功。在這之后，A.Einstein甚至考慮過放棄廣義協變原理這樣基本的看法，企圖采取特殊的坐標系統來調和與實驗觀測間的矛盾。但在數學大師Hilbert眼里，這種做法顯然不會有任何結果，因為從數學的觀點講，任何描述時空幾何的量和物理定律都應當是內蘊(intrinsic)的，絕不應依賴坐標系的選取。Hilbert答應A.Einstein用數學的美(對稱群+作用量)來解決這一問題。最終Hilbert采用Lagrangian最小作用量原理的方法(現稱作Hilbert-Einstein Lagrangian)甚至比A.Einstein早一個星期發現了正確的引力場方程。Einstein方程闡釋了物質分布和彎曲時空幾何的相互關系，且自由動體走四維時空中的測地線(geodesics)。該方程可用來解釋光線偏折，黑洞，引力波等一系列重要的天體物理現象，且它的一組靜態球對稱解(Schwarzschild solution)在當今GPS全球定位系統中作為對Newton經典引力理論的修正發揮了重要作用。

Poisson 方程

Einstein 方程

Schwarzschild metric

• 對現代物理學的影響

相對論理論的成功源于不同范圍尺度(scale)的對稱群在尋找物理學方程上發揮的巨大威力(其實這一思想最早可追溯到Emmy Noether提出的Noether定理)。廣義相對論中引力幾何化的思想也奠定了幾何學在物理學基本理論中的根本地位，即所謂物理學的幾何綱領。在這之后，德國數學家Hermann Weyl通過平行移動(parallel
transport)引入了所謂規范對稱(Abel規范群U(1))的觀念成功地將Maxwell電磁理論幾何化。之后隨著楊振寧(C.N. Yang)和R.Mills于1954年推廣Weyl工作的發表(可交換規范群U(1)推廣到非交換規范群SU(2))，以及量子場論QFT包括量子電動力學QED，弱電統一理論和量子色動力學QCD的發展，這個規范群從Abel規范群U(1)逐步發展為Non-Abelian規范群U(1)×SU(2)，SU(3)，最終到一個規范群是直積群U(1)×SU(2)×SU(3)的Yang-Mills理論得以建立。

Hermann Weyl

楊振寧 (C.N. Yang)

至此，自然界中的三個基本相互作用 電磁作用，強相互作用，弱相互作用 得以統一，粒子物理學的標準模型(standard model)正式建立【注：嚴格講，除了Yang-Mills理論，標準模型的真正建立還依賴別的機制，如Higgs機制，漸進自由，重整化等技術】。在這之后，標準模型所預言的各種基本粒子都成功在實驗室被找到(例如，1974年丁肇中和里奇特小組分別獨立發現J/ψ粒子)。隨著最后一個基本粒子——Higgs粒子于2012年被實驗找到，標準模型被普遍認為是迄今為止最成功，最精確的物理理論模型。

標準模型基本粒子 (standard model elementary particles)

Standard Model Lagrangian

21世紀理論物理學的基本問題將是如何統一引力和之前所說的三種相互作用，建立最終的統一理論(unified theory)。弦理論(string theory)是個相當不錯的出發點。該理論認為，宇宙維數是10，即4維時空每點賦予一個6維空間，而這個6維空間一個重要的數學模型就是由意大利幾何學家Calabi提出并被華裔數學家丘成桐證明的Calabi-Yau空間(蜷縮在Planck長度的空間上)。

Calabi-Yau manifold

Calabi-Yau manifolds in spacetime

丘成桐 (S.T. Yau)

在這里，宇宙基本單元不是電子，光子之類在量子場論里合法的點狀粒子模型(可能導致奇點發散)，而是尺度極其微小的線狀的所謂‘’弦‘’，包括開弦和閉弦。弦線的不同振動模式給出不同的基本粒子。弦理論自提出以來，最為矚目的工作之一還要追溯到1998年由Maldacena在超弦研究中發現的AdS/CFT對偶關系(目前還是猜想)。它作為全息原理(holographic principle)的一種實現方式連結了n+1維反德西特空間(AdS space)上的量子引力理論和一個定義在AdS空間邊界上的共形場論使得強/弱對偶能夠派上用場。但弦論基于所謂超對稱(supersymmetry)假設所預言的超對稱粒子目前還沒能在實驗室找到。期望21世紀數學家和物理學家能攜手補上物理學最后一塊拼圖。

文章來源：知乎

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