這就是Allan MacLeod，一位退休的數(shù)學(xué)家，在幾年前偶然發(fā)現(xiàn)的方程，它真的令人嘆為觀止。老實(shí)說(shuō)，我也算是大風(fēng)大浪見(jiàn)的多了，但這么精妙的丟番圖方程（注：有一個(gè)或者幾個(gè)變量的整系數(shù)方程，它們的求解僅僅在整數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行。最后這個(gè)限制使得丟番圖方程求解與實(shí)數(shù)范圍方程求解有根本的不同。也叫不定方程。）還是第一次見(jiàn)。

在我碰到這道題之前，它已經(jīng)被某人心懷惡意地發(fā)布在網(wǎng)絡(luò)上，成為流行的朋友圈圖片，肆意捉弄那些老實(shí)人（Scridhar，這個(gè)人是不是你？）。我根本沒(méi)意識(shí)到我偶然看到的這道題到底是個(gè)什么樣的怪物。它長(zhǎng)這個(gè)樣：

你可能已經(jīng)在朋友圈看到過(guò)很多這樣的圖了，它們一般都是標(biāo)題黨的垃圾：什么“95%的麻省理工畢業(yè)生無(wú)法解決的問(wèn)題”，這個(gè)“問(wèn)題”要么很空洞，要么偷換概念，要么就是不重要的腦筋急轉(zhuǎn)彎。

但這個(gè)問(wèn)題不是。這張圖片就是一個(gè)精明的，或者說(shuō)陰險(xiǎn)的圈套。大概99.999995%的人根本沒(méi)有任何機(jī)會(huì)解決它，甚至包括一大批頂級(jí)大學(xué)非數(shù)論方向的數(shù)學(xué)家。它的確是可解的，但那真的真的不得了的難。

（順便說(shuō)一句。發(fā)布的人實(shí)際上不是Scridhar，或者說(shuō)不能怪他。）

你可能會(huì)這樣想，如果所有的嘗試都失敗了，我們還可以直接用電腦計(jì)算大力出奇跡。這年頭，寫(xiě)個(gè)電腦程序解決這種形式簡(jiǎn)單的方程真是太容易了，只要它真的有答案，那電腦最終一定會(huì)找出來(lái)。但很抱歉，大錯(cuò)特錯(cuò)。用電腦暴力計(jì)算在這里毫無(wú)用處。

如果不把Quora的讀者都當(dāng)作橢圓曲線的入門者的話，我不知道怎么才能寫(xiě)出適合的答案。我在這能做的只是一個(gè)簡(jiǎn)要的概覽。主要參考文獻(xiàn)是最近Bremmer和MacLeod2014年在《數(shù)學(xué)和信息學(xué)年鑒（Annales Mathematicae etInformaticae）》上發(fā)表的一篇名為《一個(gè)不一般的立體代表性問(wèn)題（An unusual cubic representationproblem）》的精彩論文。

讓我們開(kāi)始吧。

我們求解的是這個(gè)方程的整數(shù)解

 (為了與論文的變量名相適應(yīng)，我把蘋果、香蕉和菠蘿修改過(guò)來(lái)了)

面對(duì)任何方程，你需要做的第一步是嘗試并確定問(wèn)題背景。這到底被劃歸到哪一類問(wèn)題？嗯，我們被要求找到整數(shù)解，所以這是一個(gè)數(shù)論問(wèn)題。就題而言，方程涉及有理函數(shù)（多項(xiàng)式除多項(xiàng)式的函數(shù)形式），但很顯然我們可以用通分移項(xiàng)的方法化成一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)，所以我們實(shí)際上解得是一個(gè)丟番圖方程（ Diophantine equation）。正數(shù)解的要求有一點(diǎn)不同尋常，接下來(lái)我們會(huì)看到這個(gè)要求會(huì)讓問(wèn)題變得多么難。

現(xiàn)在，我們有了多少變量？這個(gè)問(wèn)題看起來(lái)很蠢：很明顯，我們有三個(gè)變量，分別是a、b、c。讓我們慢一點(diǎn)來(lái)。一個(gè)科班出身的數(shù)論學(xué)家第一眼就能察覺(jué)到，這個(gè)方程是齊次的。這意味著如果（a，b，c）是方程的一個(gè)特解的話，那（7a，7b，7c）都是它的解。你能看出為什么嗎？給每一個(gè)變量乘一個(gè)常數(shù)沒(méi)有改變方程的結(jié)構(gòu)（7只是一個(gè)例子），因?yàn)榉肿臃帜溉慷技s掉了。

這意味著這個(gè)方程看上去像是三維的，但它實(shí)際上只有兩維。在幾何學(xué)中，它對(duì)應(yīng)著一個(gè)面（一個(gè)三元方程一般定義一個(gè)兩維的面。一般來(lái)說(shuō)，k個(gè)n元方程定義一個(gè)d維的流形，d=n-k）。這個(gè)面是由一條過(guò)原點(diǎn)的線旋轉(zhuǎn)形成的，可以通過(guò)截取的單平面來(lái)理解。這是一條投影曲線。

在大多數(shù)初等的情形，這種降維可以這么解釋：無(wú)論解是什么，我們都可以分為兩類，c=0的情形和c≠0的情形。第一類僅僅涉及兩個(gè)變量（所以自然是二維的），而第二類情形我們可以對(duì)所有解同時(shí)除以c并得到一個(gè)c=1的解（注：在上上一段，我們已經(jīng)說(shuō)明了這樣一組解也一定是方程的解）。因此我們可以在c=1的情況下尋找a和b的有理數(shù)解，只要乘以一個(gè)公分母，就得到了a，b，c的正數(shù)解。一般來(lái)說(shuō)，齊次方程的整數(shù)解對(duì)應(yīng)一個(gè)低一個(gè)維度的非齊次方程的有理數(shù)解。

接下來(lái)的問(wèn)題是：這個(gè)方程的次數(shù)是什么？次數(shù)指的是各項(xiàng)中最高的冪次，對(duì)于涉及多個(gè)變量相乘的項(xiàng)，冪次就是各變量?jī)绱沃汀Ｅe個(gè)例子，如果某項(xiàng)為a2 bc4 ，那此項(xiàng)的次數(shù)就是7=2+1+4 。

丟番圖方程在不同次數(shù)難度完全不一樣，寬泛地說(shuō)：

一次的非常簡(jiǎn)單。

二次的也被理解得非常透徹，一般能用相對(duì)初等的方法解決。

三次的就是滿山滿海的深?yuàn)W理論和數(shù)不勝數(shù)的開(kāi)放問(wèn)題。

四次的，嗯，真的真的很難。

我們這個(gè)方程是三次的。為什么？嗯，去分母之后就很顯然了：

即使沒(méi)有合并同類項(xiàng)，你也可以明白地看到次數(shù)為3：沒(méi)有超過(guò)三個(gè)變量的乘積，最后我們得到的是類似a^3 、b^2 c、abc這樣的項(xiàng)，而沒(méi)有冪次超過(guò)3的。合并同類項(xiàng)后，方程整理如下：

a^3+b^3+c^3?3(a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2)?5abc=0

你可能會(huì)反對(duì)這樣的變形：因?yàn)檫@樣獲得的解可能恰好使某個(gè)分母等于0，使得原方程沒(méi)有意義。這是對(duì)的，我們的新方程的確有些解不與原方程對(duì)應(yīng)。但這是好事（@F91）。這個(gè)多項(xiàng)式形式給原方程打上了一些補(bǔ)丁使得它便于處理；對(duì)于我們找到的任何特解，只需要代入原方程檢驗(yàn)一下分母等不等于0就可以了。

事實(shí)上，多項(xiàng)式方程很容易處理。比如說(shuō)， a=?1 ，b=1, c=0。這是好事：我們有了有理數(shù)解，或者說(shuō)有理點(diǎn)。這意味著我們的立體方程（3維）實(shí)際上是個(gè)橢圓曲線。

當(dāng)你發(fā)現(xiàn)這個(gè)方程是橢圓曲線時(shí)，你會(huì)喜出望外，然后悲從中來(lái)（注：這里不是大家熟悉的圓錐曲線中的橢圓，而是域上虧格為1的光滑射影曲線。對(duì)于特征不等于2的域，它的仿射方程可以寫(xiě)成：y^2=x^3+ax^2+bx+c。復(fù)數(shù)域上的橢圓曲線為虧格為1的黎曼面。Mordell證明了整體域上的橢圓曲線是有限生成交換群，這是著名的BSD猜想的前提條件。阿貝爾簇是橢圓曲線的高維推廣。By 百度百科。），因?yàn)槟惆l(fā)現(xiàn)橢圓曲線問(wèn)題是個(gè)龐然大物（學(xué)渣哇的一聲哭出來(lái)）。這個(gè)方程是一個(gè)展現(xiàn)橢圓曲線理論強(qiáng)大的經(jīng)典案例，證明它可以被用來(lái)尋找一些爆難問(wèn)題的解。

我們需要做的第一件事把橢圓曲線化成魏爾斯特拉斯（注：Weierstrass，提起他最著名的成就就是嚴(yán)密化微積分的ε-δ語(yǔ)言）形式。這是一個(gè)長(zhǎng)得像這樣的等式：

      y2=x3+ax+b

或者有時(shí)候也會(huì)化成

      y2=x3+ax2+bx+c

(這被稱為長(zhǎng)魏爾斯特拉斯形式。它并不是嚴(yán)格必需的，但有時(shí)候會(huì)帶來(lái)一些便利)

眾所周知，任何橢圓曲線都可以化成這種形式（在特征為2或者3的域特別基礎(chǔ)，如果你研究特征特別小的域，那結(jié)果就不一樣了，我們此處不作討論）。如果想講清楚怎么把橢圓曲線化成這種形式，那可就是長(zhǎng)篇大論了（學(xué)渣的碎碎念：我信我信）。你只需要知道，這種變形是完全機(jī)械的操作（關(guān)鍵在于方程至少存在一個(gè)有理數(shù)點(diǎn)，而我們已經(jīng)確定了一個(gè)有理數(shù)點(diǎn)）。現(xiàn)在有若干計(jì)算機(jī)函數(shù)包可以輕而易舉地幫你搞定這件事。

但即使你不知道如何完成變換，驗(yàn)證它也是很容易的，或者說(shuō)至少是機(jī)械的。對(duì)于我們而言，需要的變換由令人生畏的公式導(dǎo)出。

我知道這看上去就像隨意的巫毒把戲（注：巫毒，是目前最為人熟悉的非洲信仰，在西方文化中就是神秘力量的象征符號(hào)，可以類比國(guó)人心中的毒盅、趕尸和降頭），但請(qǐng)相信我它不是。一旦你完成了這些變形，沉悶但異常直白的代數(shù)計(jì)算可以證明它是對(duì)的。

y2=x3+109x2+224x

這個(gè)方程盡管看起來(lái)很原方程長(zhǎng)得不怎么像，但確是如假包換的忠實(shí)模型。在圖像上它長(zhǎng)成這樣，一條有著兩個(gè)實(shí)部的經(jīng)典橢圓曲線：

右邊的“魚(yú)尾”連續(xù)延伸至正負(fù)無(wú)窮。左邊的封閉橢圓曲線也將給我們帶來(lái)解決問(wèn)題的驚喜。給定這個(gè)方程的任意解（x，y），你都可以通過(guò)下面的等式還原所求的a，b，c：

你需要記住，三元組（a：b：c）是用投影曲線理解的——無(wú)論你從這些方程中獲得什么數(shù)值，你都可以隨意乘上一個(gè)你想要的常數(shù)。

對(duì)于我們展示的兩個(gè)圖像，無(wú)論是從a，b，c到x，y還是反過(guò)來(lái)，都可以證明這兩個(gè)方程從數(shù)論的角度是等價(jià)的：一個(gè)方程的有理數(shù)解可以導(dǎo)出另一個(gè)方程的有理數(shù)解。專業(yè)術(shù)語(yǔ)叫做雙向有理等價(jià)（birational equivalence），而這個(gè)概念在代數(shù)幾何里面是一個(gè)非常基本的。如我們之前注意到的那樣，可能存在一些不相互對(duì)應(yīng)的特殊點(diǎn)，而情形是a+b，a+c 或者b+c恰好等于0 。這是構(gòu)造雙有理等價(jià)的必要代價(jià)，而不需要對(duì)此有任何擔(dān)心。

讓我們來(lái)看看手里的這個(gè)例子。它的橢圓曲線存在一個(gè)很好的有理數(shù)點(diǎn)：x=?100, y=260。可能找到這個(gè)點(diǎn)不太容易，但檢驗(yàn)它在曲線上就很簡(jiǎn)單了：直接代入原方程檢驗(yàn)等式兩邊是否相等（我不是隨機(jī)摸的點(diǎn)，但各位不用關(guān)心這個(gè)問(wèn)題）。我們可以簡(jiǎn)單地驗(yàn)證a，b，c代入的結(jié)果。

我們得到了a=2/7,b=?1/14,c=11/14，既然我們可以隨意乘以一個(gè)公分母，那我們就可以變形為a=4,b=?1,c=11.

代入原方程，的確4/（?1+11）?1/（4+11）+11/（4?1）=4

你可以很容易地驗(yàn)證。這就是我們?cè)匠痰囊粋€(gè)簡(jiǎn)單整數(shù)解——但很遺憾，不是正整數(shù)解。找到這個(gè)解用手算不太容易，但用一點(diǎn)耐心即使不用計(jì)算機(jī)也不算太難。它將成為我們找到正數(shù)解的緣起之地。

現(xiàn)在，一旦你在橢圓曲線上找到了有理數(shù)點(diǎn)，如P（-100,260），你就可以利用弦切技巧進(jìn)行加法，生成其它的有理數(shù)點(diǎn)（有理數(shù)的加法是封閉的，有理數(shù)加有理數(shù)還是有理數(shù)）。

圖解：橢圓曲線上點(diǎn)的加法

在任何情形下，在一個(gè)域（實(shí)數(shù)域R或者有理數(shù)域Q）中給定一個(gè)方程，你可以把解視為位于R2或者Q2的點(diǎn)（來(lái)自R2或者Q2的投影），而相加律就是弦—切結(jié)構(gòu)的變形：想要對(duì)兩個(gè)點(diǎn)A和B做加法，構(gòu)造一條過(guò)二點(diǎn)的直線（弦），當(dāng)A，B重合時(shí)，這就是曲線的切線。找到直線與曲線的第三個(gè)交點(diǎn)P，對(duì)O和P重復(fù)上述操作，再次得到的交點(diǎn)就是A+B。當(dāng)O點(diǎn)被選為無(wú)窮遠(yuǎn)處的點(diǎn)（一般都這么處理），圖像就如上所示（注：至于O點(diǎn)是什么，這就涉及群論和更深?yuàn)W的橢圓曲線知識(shí)，懂的自然懂，不懂的我也講不懂，因?yàn)槲乙膊欢８敿?xì)的見(jiàn)原作者的Quora回答previous，再詳細(xì)的請(qǐng)去翻代數(shù)幾何。

一開(kāi)始，我們可以通過(guò)作P點(diǎn)的切線，找到它和曲線再次相交的點(diǎn)，以此增加P點(diǎn)的值。結(jié)果看上變得有點(diǎn)嚇人P+P=2P=(8836/25,?950716/125)。

同樣的，這個(gè)新的點(diǎn)也對(duì)應(yīng)一組a，b，c的值,(a,b,c)=(9499,?8784,5165)。

這個(gè)解用手算就很困難，但用電腦就是小意思了。然而，它還不是正的。

當(dāng)然，困難嚇不倒我們，我們繼續(xù)計(jì)算3P=2P+P，操作方法就是連接P和2P找到與曲線的第三個(gè)交點(diǎn)再與O點(diǎn)相連找到第四個(gè)交點(diǎn)。同樣的，我們計(jì)算a，b，c，然而還是同樣的，結(jié)果不是正數(shù)。以此類推，計(jì)算4P，5P等等等等。直到我們計(jì)算到9P。

9P=(-66202368404229585264842409883878874707453676645038225/13514400292716288512070907945002943352692578000406921,

58800835157308083307376751727347181330085672850296730351871748713307988700611210/1571068668597978434556364707291896268838086945430031322196754390420280407346469)

很明顯這不是人算的了，但交給機(jī)器，這也就是9次簡(jiǎn)單的幾何程序迭代。對(duì)應(yīng)的a，b，c值也很恐怖：

a=154476802108746166441951315019919837485664325669565431700026634898253202035277999,

b=36875131794129999827197811565225474825492979968971970996283137471637224634055579,

c=4373612677928697257861252602371390152816537558161613618621437993378423467772036

這些是80位數(shù)！你不可能通過(guò)暴力計(jì)算找到一個(gè)80位數(shù)（注：簡(jiǎn)單的算術(shù)題，三個(gè)1080的數(shù)，總共的組合數(shù)就是10240，神威太湖之光的峰值計(jì)算能力為12.5億億次每秒，折算不過(guò)1018 次/s，至少需要10222秒，大約10214年，更震撼的寫(xiě)法就是1億億億億億億億億億億億億億億億億億億億億億億億億億億年）！但無(wú)論它看上去怎么不可思議，但這些數(shù)值代回原方程，的確等于4：

讓我們回到理論本身再探討一下。定義在有理數(shù)上的橢圓曲線存在一個(gè)階（rank），它表示我們最開(kāi)始至少需要知道多少個(gè)有理點(diǎn)才能通過(guò)弦切方法找到曲線上所有的有理數(shù)點(diǎn)。我們這條橢圓曲線的階等于1，說(shuō)明雖然它上面有無(wú)窮多個(gè)有理點(diǎn)但都是由一個(gè)有理點(diǎn)生成的，而這個(gè)點(diǎn)不是別的恰好就是我們最開(kāi)始的那個(gè)P點(diǎn)（-100,260）。

計(jì)算階數(shù)并找到這樣的一個(gè)生成子的算法非同尋常，但SageMath（現(xiàn)在叫CoCalc）只需要幾行代碼1秒鐘以內(nèi)就搞定了。你可以查看我的代碼（here）,它從頭開(kāi)始再現(xiàn)了整個(gè)解法，當(dāng)然其中有Sage內(nèi)置的橢圓曲線處理方法。

在我們看來(lái)，P點(diǎn)位于曲線的橢圓部分，而其它的mP（m為正整數(shù)）點(diǎn)也一樣。它們會(huì)逐漸跑遍整個(gè)橢圓并最終均勻地分布在整個(gè)曲線上。而我們是很幸運(yùn)的，因?yàn)橹挥泻苌僖徊糠謾E圓能產(chǎn)生a，b，c的正數(shù)解：它們是下面這張圖加粗的部分（引自Bremmer和MacLeod的論文）。

P，2P等點(diǎn)并不在黑色加粗的部分，但9P恰好在，使我們得到一個(gè)80位的正整數(shù)解。

Bremmer和MacLeod還研究了如果我們把等式右邊的4換成其它的東西會(huì)怎么樣。如果你覺(jué)得我們的解太大了，那是因?yàn)槟氵€沒(méi)見(jiàn)識(shí)到把4換成178的結(jié)果。那就不僅僅是80位了，你需要398,605,460位數(shù)。對(duì)，你沒(méi)看錯(cuò)，那個(gè)解就是這么大。如果你試試896，位數(shù)就飆升到數(shù)萬(wàn)億位了。沒(méi)錯(cuò)，數(shù)萬(wàn)億位的解，屬于這個(gè)看上去人畜無(wú)害的方程。

上述的丟番圖方程就是一個(gè)系數(shù)很小但整數(shù)解位數(shù)巨大的駭人案例。它不僅僅是令人生畏的符號(hào)，而是一項(xiàng)意義深遠(yuǎn)的研究。希爾伯特第十大問(wèn)題的否證陳述意味著，隨著系數(shù)逐漸增大，解的增長(zhǎng)將變?yōu)橐粋€(gè)不可計(jì)算的方程——因?yàn)槿绻强捎?jì)算的，那我們就能得到一個(gè)解開(kāi)丟番圖方程的簡(jiǎn)單算法，而事實(shí)上并沒(méi)有，無(wú)論是簡(jiǎn)單的還是復(fù)雜的。這項(xiàng)研究展現(xiàn)了與那個(gè)問(wèn)題的某種聯(lián)系：4->80位，178->數(shù)億位，896->數(shù)萬(wàn)億位，讓我們瞥見(jiàn)那個(gè)怪異的、不可計(jì)算的函數(shù)的一貌。稍稍把我們的方程改動(dòng)一下，解就會(huì)迅速增長(zhǎng)到蓋過(guò)我們這個(gè)“可憐的”、“渺小的”宇宙的任何事物。

何其美妙、何其揶揄的小小方程！

編輯 ∑Pluto

文章來(lái)源：數(shù)學(xué)建模

IEEE Spectrum

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