○ 馬爾可夫過程可被用于模擬砂樁的堆積過程。| 圖片來源：Santa Fe Institute Press

科學家認為時間是連續的，而不是離散的。粗略地說，也就是他們認為時間不是一段一段地前進，而是平滑且持續地流淌。因此，他們經常將物理系統的動力學建模為連續時間下的“馬爾可夫過程”。

馬爾可夫過程是以數學家安德雷·馬爾可夫（Andrey Markov）的名字命名的。我們有時會說馬爾可夫過程下的系統會隨著一個主方程而演化。它描述的是滿足“無記憶性”的隨機過程，也就是說，在這個過程中，下一個狀態出現的概率只由當前狀態決定，而與時間序列中之前的事件無關。

事實上，科學家利用馬爾可夫過程研究了一系列現實世界的過程，從蛋白質折疊到生態系統演化，再到金融市場轉變，并取得了驚人的成功。

然而，當科學家在觀察系統的狀態時，只能在離散——而非連續的時間下進行觀察。例如，一位股票市場分析師或許會反復觀察，一天開盤時的狀態與第二天開盤時的狀態有什么關聯，然后建立一個條件概率分布來描述在給定第一天狀態的情況下，第二天的狀態會是怎樣的。

最近，來自圣塔·菲研究所和麻省理工學院的物理學家在《自然-通訊》和《物理學新期刊》（New Journal of Physics）上各發表了一篇論文，他們證明若要從時間連續的馬爾可夫過程中產生一個“可見狀態”集合的時間動態，那么事實上這個馬爾可夫過程必須在更大的空間展開，在這個狀態空間中不僅包含可見狀態，也要包含隱藏狀態。

他們進一步證明，一對時間之間的演化必須在有限數量的“隱藏時間步長”（時間步長指的是前后兩個時間點之間的差值）中進行，將兩個時間之間的間隔進行細分。（嚴格說來，只要從較早時間到較晚時間的演化是無噪聲的，這個證明都是成立的。）

論文的合作者David Wolpert說：“我們想說的是動態系統中存在隱藏變量，它們暗含在科學家用來研究這些系統的工具中。此外，在某種非常有限的程度上，我們證明了盡管科學家將時間模擬成連續的，但時間是以離散的時間步長前進的。科學家或許沒有注意到那些隱藏變量和那些隱藏時間步長，但它們確實存在，并且扮演著關鍵的幕后角色。它們不僅存在于這些科學家所讀過的許多論文中，而且幾乎可以肯定地說也出現在他們自己寫過的論文中。”

除了發現隱藏狀態和隱藏時間步長，這些科學家還發現了兩者之間的權衡：隱藏狀態越多，所需要的隱藏時間步長的最小數量就越小。論文合作者Artemy Kolchinsky表示：“這些結果令人驚訝，它們表明馬爾可夫過程展現出了時間和內存之間的一種權衡，這種權衡經常出現在分析計算機算法這一數學領域。”

為了說明這些隱藏狀態的作用，論文作者Jeremy A. Owen用了一個生物分子過程為例，每隔一個小時對它進行一次觀察：如果一個蛋白質最開始處于狀態a，經過一小時后它通常轉變為狀態b，然后再經過一小時它又回到了狀態a，那么在這個過程中一定至少存在另一個狀態c，它影響著蛋白質的動態，但它是隱藏的。”

事實上，研究人員是在尋找一種能在計算機中翻轉一比特信息的最節能方法時，碰巧發現了隱藏狀態和隱藏時間步長的必然性。那項研究是他們試圖理解計算熱力學這項工作的一部分，在過程中他們發現，沒有直接的方法可以實現一個映射，同時將1發送到0，并且將0發送到1。相反，為了翻轉一比特信息，這個位元必須經過至少一個隱藏狀態，并且包含至少三個隱藏的時間步長。

○ 將一比特信息從1翻轉到0的最小配置需要三個狀態和三個連續的時間步長。

事實證明，任何根據輸入來“計算”輸出的生物或物理系統，比如細胞處理能量，或者一個生態系統的演化，都會像翻轉信息位元的例子一樣暗含同樣的隱藏變量。Owen補充道：“這類模型確實會在自然的情況下出現，它所根據的假設是，時間是連續的，以及當前所處的狀態決定了接下來要去哪里。”

Wolpert回憶說：“有一件事情讓這個發現更具有普遍性，也更令我們驚訝，那就是即使不考慮熱力學因素，所有這些結果仍然成立。這是一個非常純粹的例子，它體現了安德森（Phillip Anderson）的格言‘more is different’（多而不同），因為所有這些底層細節（隱藏狀態和隱藏時間步長）對高層細節（從可見的輸入狀態到可見的輸出狀態的映射）是不可見的。”

Wolpert沉思道：“這有點像是光速的極限。對絕大多數科學家來說，系統不能超過光速這一事實并不是直接的結果。但對于那些到處適用的可行過程來說，這是一種限制，而且是需要永遠留存在腦海中的一件事情。”

參考鏈接：

https://www.santafe.edu/news-center/news/discrete-time-physics-hiding-inside-our-continuous-time-world

文章來源：原理

IEEE Spectrum

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