尺規(guī)作圖是古希臘幾何學(xué)中的一項(xiàng)重要內(nèi)容。早在公元前5世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家們就已經(jīng)習(xí)慣于用不帶刻度的直尺和圓規(guī)來作圖了。在他們看來，直線和圓是可以信賴的最基本的圖形，而直尺和圓規(guī)是畫兩種圖形的工具，只有用尺規(guī)做出的圖形才是可信的。
在歷史上，明確提出作圖只能使用直尺和圓規(guī)的人，首推伊諾皮迪斯，他在公元前465年前后發(fā)現(xiàn)，只用沒有刻度的直尺和圓規(guī)，就可以過已知直線的一個點(diǎn)上作一個角與已知角相等，這件事的重要性在于，它啟示人們在尺規(guī)的限制下，從理論上去解決這個問題。
五種基本尺規(guī)作圖
1、作一條線段等于已知線段；
2、作已知線段的垂直平分線；
3、作已知角的角平分線；
4、 作一個角等于已知角；
5、過一點(diǎn)作已知直線的垂線；
1、作一條線段等于已知線段
已知：如圖，線段a .
求作：線段AB，使AB = a .
作法：
（1） 作射線AP；
（2） 在射線AP上截取AB=a .
則線段AB就是所求作的圖形。
2、作已知線段的垂直平分線
已知：如圖，線段MN.
求作：點(diǎn)O，使MO=NO
作法：
（１）分別以M、N為圓心，大于MN的一半為半徑畫弧，兩弧相交于P，Q；
（２）連接PQ交MN于O．
則直線PQ就是所求作的ＭＮ的垂直平分線
3、作已知角的角平分線
已知：如圖，∠AOB，
求作：射線OP, 使∠AOP＝∠BOP（即OP平分∠AOB）。
作法：
（1）以O(shè)為圓心，任意長度為半徑畫弧，
分別交OA，OB于M，N；
（2）分別以M、Ｎ為圓心，大于線段MN一半為半徑畫弧，兩弧交∠AOB內(nèi)于Ｐ；
（3） 作射線OP。
則射線OP就是∠AOB的角平分線。
4、作一個角等于已知角
作法：
（1）作射線O’A’；
（2）以O(shè)為圓心，任意長度為半徑畫弧，交OA于M，交OB于N；
（3）以O(shè)’為圓心，以O(shè)M的長為半徑畫弧，交O’A’于M’；
（4）以M’為圓心，以MN的長為半徑畫弧，交前弧于N’；
（5）連接O’N’并延長到B’。
則∠A’O’B’就是所求作的角。
5.1、經(jīng)過直線上一點(diǎn)作垂線
已知：如圖，P是直線AB上一點(diǎn)。
求作：直線CD，是CD經(jīng)過點(diǎn)P，且CD⊥AB。
作法：
（1）以P為圓心，任意長為半徑畫弧，交AB于M、N；
（2）分別以M、N為圓心，大于MN長度的一半為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)Q；
（3）過D、Q作直線CD。
則直線CD是求作的直線。
5.2、經(jīng)過直線外一點(diǎn)作垂線
已知：如圖，直線AB及外一點(diǎn)P。
求作：直線CD，使CD經(jīng)過點(diǎn)P，
且CD⊥AB。
作法：
（1）以P為圓心，任意長為半徑畫弧，交AB于M、N；
（2）分別以M、N圓心，大于MN長度的一半為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)Q；
（3）過P、Q作直線CD。
則直線CD就是所求作的直線。
三大史詩級難題
尺規(guī)作圖不能問題就是“不可能”用尺規(guī)作圖完成的作圖問題。其中最著名的是被稱為幾何三大問題的古典難題：
傳說中，這問題的來源，可追溯到公元前429年，一場瘟疫襲擊了希臘提洛島，造成四分之一的人口死亡。島民們推派一些代表去神廟請示阿波羅的旨意，神指示說：要想遏止瘟疫，得將阿波羅神殿中那正立方的祭壇加大一倍。人們便把每邊增長一倍，結(jié)果體積當(dāng)然就變成了8倍，瘟疫依舊蔓延；接著人們又試著把體積改成原來的2倍，但形狀卻變?yōu)橐粋€長方體……第羅斯島人在萬般無奈的情況下，只好鼓足勇氣到雅典去求救于當(dāng)時(shí)著名的學(xué)者柏拉圖。
開始，柏拉圖和他的學(xué)生認(rèn)為這個問題很容易。他們根據(jù)平時(shí)的經(jīng)驗(yàn)，覺得利用尺規(guī)作圖可以輕而易舉地作一個正方形，使它的面積等于已知正方形的2倍，那么作一個正方體，使它的體積等于已知正方體體積的2倍，還會難嗎?結(jié)果，這個問題至今無人能解。這就是著名的“倍立方問題”。
公元前5世紀(jì)，古希臘哲學(xué)家安那薩哥拉斯因?yàn)榘l(fā)現(xiàn)太陽是個大火球，而不是阿波羅神，犯有“褻瀆神靈罪”而被投入監(jiān)獄。他被判處死刑，在等待執(zhí)行的日子里，夜晚，安那薩哥拉斯睡不著。圓圓的月亮透過正方形的鐵窗照進(jìn)牢房，他對方鐵窗和圓月亮產(chǎn)生了興趣。他不斷變換觀察的位置，一會兒看見圓比正方形大，一會兒看見正方形比圓大。最后他說：“好了，就算兩個圖形面積一樣大好了。”安那薩哥拉斯把“求作一個正方形，使它的面積等于已知的圓面積”作為一個尺規(guī)作圖問題來研究。起初他認(rèn)為這個問題很容易解決，誰料想他把所有的時(shí)間都用上，也一無所獲。
經(jīng)過好朋友、政治家伯里克利的多方營救，安那薩哥拉斯獲釋出獄。他把自己在監(jiān)獄中想到的問題公布出來，許多數(shù)學(xué)家對這個問題很感興趣，都想解決，可是一個也沒有成功。這就是著名的“化圓為方問題”。
紀(jì)元前五、六百年間希臘的數(shù)學(xué)家們就已經(jīng)想到了二等分任意角的方法，正像我們在幾何課本或幾何畫中所學(xué)的：以已知角的頂點(diǎn)為圓心，用適當(dāng)?shù)陌霃阶骰〗唤莾傻膬蛇叺脙蓚€交點(diǎn)，再分別以這兩點(diǎn)為圓心，用一個適當(dāng)?shù)拈L作半徑畫弧，這兩弧的交點(diǎn)與角頂相連就把已知角分為二等分。二等分一個已知角既是這么容易，很自然地會把問題略變一下：三等分怎么樣呢？這樣，這一個問題就這么非常自然地出現(xiàn)了。這就是著名的“三等分角問題”。
以上三個問題在2400年前的古希臘已提出，但在歐幾里得幾何學(xué)的限制下，以上三個問題都不可能解決的。直至1837年，法國數(shù)學(xué)家萬芝爾才首先證明“三等分角”和“倍立方”為尺規(guī)作圖不能問題。而后在1882年德國數(shù)學(xué)家林德曼證明π是超越數(shù)后，“化圓為方”也被證明為尺規(guī)作圖不能問題。
文章來源：VOA數(shù)學(xué)
IEEE Spectrum
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