素數的分布密度為 ρ(x)~1/ln(x),從而在 x 以內的素數個數——通常用 π(x) 表示——為:
π(x) ~ Li(x)
其中 Li(x) ≡ ∫ 1/ln(x) dx 是對數積分函數 。這個結果有些讀者可能也認出來了,它正是著名的素數定理。
……
素數定理是簡潔而優美的,但它對于素數分布的描述仍然是比較粗略的,它給出的只是素數分布的一個漸近形式——即小于 N 的素數個數在 N 趨于無窮時的分布形式。從有關素數分布與素數定理的圖示(如下圖)中我們也可以看到,π(x) 與 Li(x) 之間是有偏差的, 而且這種偏差的絕對值隨著 x 的增加似有持續增加的趨勢。
素數分布與素數定理
從素數分布與素數定理的圖示以及從大范圍的計算中人們都發現 Li(x)-π(x) 大于零, 這使得有人猜測 Li(x) 不僅是素數分布的漸近形式, 而且還是其嚴格上界, 即 Li(x)-π(x) 恒大于零。 這種猜測在 1914 年被英國數學家 John Littlewood (1885-1977) 所推翻, Littlewood 證明了 Li(x)-π(x) 是一個在正與負之間振蕩無窮多次的函數。
對于迄今所有被驗證過的情形,Li(x)-π(x)>0 都成立,但 Littlewood 卻運用分析的力量,不僅證明它不成立,而且證明了它會被違反無窮多次!那么所有驗證過的情形說明什么呢?說明雖然有無窮多個 x 違反 Li(x)-π(x)>0,但其中哪怕最小的 x也大得異乎尋常。事實上,我們直到今天也不知道這個最小的 x 究竟有多大,目前對它的估計約為。
注:這個最小的 x 被 Hardy 稱為 Skewes 數 (Skewes' number),因為最早對它進行數值估計的是 Littlewood 的學生、 南非數學家 Stanley Skewes (1899–1988)。
作者:孫天任
文章來源:算數學苑
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