我認為：評價一項數學成就的高低，也應該是境界為上 。數學的境界有些方面是與詩歌境界相通的，數學家也要“對宇宙人生，須入乎其內，又須出乎其外。”數學也有“造境”與“寫境”之分，前者是“創造理論”，后者是“解決難題”。我認為，數學的境界可以有如下幾個內容：1）大道至簡，大美天成 ；2）四美：簡潔，和諧，對稱，雅致；3）不同分支的交叉和融合；4）數學內部的統一。

數學家哈代認為：數學家的活動與藝術家的活動很多是共同的、相像的。他說：“畫家進行色彩與形態的組合，音樂家把音階組合起來，詩人組詞，數學家是把一定類型的概念組合起來”。因此，無論是藝術家還是數學家，他們做的工作都是組合，只是組合對象不同。數學家維納更認為：“數學是一門精美的藝術”。數學與詩歌有許多共性，下面歸納為八點。

首先，數學和詩歌的源泉都是自然和社會。宋代大詩人陸游告誡兒子說：“汝果欲學詩，功夫在詩外。”這個詩外是詩人對日常生活和大自然細致的觀察、體驗、感知，這是詩歌創作的源泉。做數學研究也與詩歌創作類似。數學史家克萊因認為：“對自然的深入研究是數學發現最豐富的源泉。”丘成桐在一次公眾講演中說過，他的研究工作深受物理學和工程學的影響，這些科學提供了數學很重要的素材。他說：“沒有物理上的看法，很難想象單靠幾何的架構，就能夠獲得深入的結果。”

第二，數學和詩歌都追求和諧與簡潔。詩歌是所有文藝作品中最追求和諧與簡潔的。詩歌是力圖通過簡潔的語言和韻律，抒發詩人的情懷，表達深邃的哲理。例如，蘇軾的詩句“不識廬山真面目, 只緣身在此山中”和劉禹錫的詩句“沉舟側畔千帆過，病樹前頭萬木春”雖然簡潔，但表達了很深的哲理。數學的和諧是不言而喻的，數學各個分支中公理化體系必須是和諧的。至于數學的簡潔，一方面數學結果是通過簡明的命題或定理的形式來表述的；另一方面，在研究過程中，數學家追求在較少條件下推出盡可能廣泛而深刻的結論，或者力圖簡化已有結果的證明。

第三，數學中的“對偶”與詩詞中的“對仗”是異曲同工。詩詞中的“對仗”能使意境更加優美，抒情更加感人，哲理更加深邃。數學中的“對偶”使得數學理論變得更加深刻，更加優美。數學中的“對偶”不只是數學的結構和框架，而且是一種思維方式，也是重要的證明工具和技巧。

第四，數學和詩歌的創作都需要直覺和想象力。當然，任何科學和藝術的創作都需要直覺和想象力，但數學和詩歌更為突出。例如，李白《望廬山瀑布》中詩句“飛流直下三千尺，疑是銀河落九天”就極富直覺和想象。這種直覺和想象是源于詩人的形象思維。數學史家克萊因說：“在預測能被證明的內容時，和構思證明的方法時一樣，數學家們利用高度的直覺和想象。”所謂想象力，就是形象思維能力。形象思維能力取決于一個人的文化素質高低。文化素質高的人思路開闊，富于聯想，觸類旁通，從而形象思維能力就強。德國詩人歌德說：“只有通過藝術，尤其是通過詩，想象力才能得到激活。” 看來想象力更與一個人的藝術修養關系密切。愛因斯坦是小提琴的演奏高手，他曾經坦言：“物理給我的知識，藝術給我想象力，知識是有限的，而藝術所開拓的想象力是無限的。”他有一句名言：“想象力比知識更重要”。

第五，詩歌創作和數學研究都需要激情和靈感。詩人有了激情才能把自己的感悟加深和放大，把內心情感宣泄出來，作品才能打動人和感染人。對數學研究來說，激情來自于探求未知真理的好奇和對美的追求。靈感也叫頓悟，它是一種近乎無意識或潛意識的非邏輯式的創造性思維活動。靈感是對某一問題長期思考以后突然產生的思想火花，有時產生于全神貫注思考問題之際，有時卻是在不經意間或意識朦朧之中。靈感有時也來源于對不同現象的類比和聯想。例如，英國物理學家史考特·羅素有一天在河邊散步，觀察到從他身邊駛過的小木船卷起一股以單個波峰形式向前傳播的激浪，他受此啟發，后來提出了著名的“孤立波”理論。

第六，數學研究和詩歌創作都需要有美感。法國數學家龐加萊認為：“美感，對美觀與優雅的感覺，在數學的成功中是一個重要的因素。” 他在《數學創造》一文中形象地描述了數學美感在數學創造過程中的作用，他說：“各種數學概念在潛意識里碰撞組合，數學直覺從中篩選有意義的組合，進而進行創造。…… 潛意識做出選擇時，所用的標準便是數學的美感，數和形的和諧感，幾何學的雅致感。”數學史家克萊因認為：“進行數學創造 的最主要驅動力是對美的追求。”

第七，“創新”是數學和詩歌的共同美學準則（即評價標準）。藝術家把“創新”叫做“藝術風格”。詩人由于生活經歷、藝術修養、審美取向以及個性特征的不同，在作品的題材、表現手法、風貌和藝術境界方面形成了獨特的藝術風格。例如，李白的詩“豪邁奔放，飄逸若仙”，是浪漫主義風格；杜甫的詩則“深沉蘊蓄，抑揚曲折”，是現實主義風格。對數學研究而言，創新必須是在一定科學范圍內有比較重要的意義。

最后，數學和詩歌的另一共同美學準則就是王國維在《人間詞話》中所說的“境界為上”。數學的境界還包括學者選題的學術品位和問題的深度，而不在于論文里面用的技巧多高，技巧始終是第二位的。

下面舉幾個高境界的數學例子。首先是兩個美妙的數學公式。一是歐拉公式

它把數學里面最基本的幾個要素全都整合在一塊了，其中1是自然數的單位，0是正負數的分界點，e是自然對數的底，

是圓周率，i是虛數單位。第二個歐拉公式

公式表明：任何一個簡單凸多面體，它的頂點數V加上面數E，減去棱數F必定等于2。這兩個歐拉公式堪稱“大道至簡、大美天成”的數學公式。數論中的兩個著名猜想“哥德巴赫猜想”（任何大于2的偶數可以表為兩個素數之和）和“孿生數猜想”（存在無窮多對素數其差等于2 ）更是最高境界的數學，盡管它們都還沒有得到證明。又如龐加萊猜想，費爾馬大定理，四色定理，Atiyah-Singer 指標定理，伽羅瓦群論，黎曼幾何，黎曼假設，哥德爾不完備定理，香農信息論，格羅滕迪克的代數幾何等都是最高境界的數學。

最后介紹一本高境界的堪稱“大美天成”的數學著作《Proofs from The Book》。本書收錄了40多個著名數學問題極富創造性和獨具匠心的證明。這是一本開闊數學視野和提高數學修養的著作。該書已被譯成十多種文字，有中譯本，第3版的書名是《數學天書的證明》，我覺得書名中有“天書”二字不妥。我曾向出版社建議把書名改為《數學天成之證》。后來出版社邀我為該書扉頁題詞，我寫下了“天成之證”。

作者注：本文是在作者的“數學如詩”（《科技導報》“卷首語”，2013年31卷上旬刊發表）一文的基礎上擴充改寫成的。

編輯 ∑ Gemini

文章來源：科學網

IEEE Spectrum

《科技縱覽》

官方微信公眾平臺