1922年，楊振寧出生于中國東部的一個中等城市——合肥。他的父親楊克純(YangKo - Chuen，又名楊武之)是北平清華大學教授，其后任復旦大學教授。楊武之于1928年在狄克遜(L. E. Dickson)指導下，以數論研究獲芝加哥大學博士學位。他是把現代數學引入中國的先驅之一，教導過許多優秀的學生，其中有兩位最著名:華羅庚和陳省身。

張：您第一次見到陳省身教授是在什么時候?

楊：1930—1934年，陳教授在北平清華大學做研究生時，我父親是清華數學系教授，但我不記得那時我們是否見過面。然而我卻清楚記得首次見到陳夫人時的情景。那是在1929年10月初，她的父親鄭桐蓀教授已在清華做了好幾年教授，楊家則剛搬到清華。那時我只有7歲，在上小學。鄭教授一家邀請我們到他家里吃飯。于是我第一次見到了“鄭姊姊”。鄭楊兩家的關系一直十分密切。1939年，我父親和母親更撮合了陳教授與鄭士寧女士的婚事，并且因此成為他們在昆明結婚時的介紹人。

張：1938—1942年間，您是清華大學物理系的學生，陳省身先生是否教過您?

楊：1937年陳教授學成回國。當時由于抗日戰爭，清華大學與北京大學、南開大學在昆明合并組成戰時的國立西南聯合大學，即西南聯大。陳先生在西南聯大教了六年書：1937—1943。他是一位極出色和受歡迎的教授。我則先在西南聯大讀本科，然后念研究生。西南聯大的歲月在我腦海中留下了美好的回憶，當時所受的優良教育也令我終生感激。

在西南聯大，我很可能旁聽過陳省身的好幾門數學課，但是根據保存至今的成績單，我只是在1940年秋季學期正式選修過他講授的微分幾何課程。當時我是物理系的三年級學生。

張：這門課您有所得益吧?

楊：當然。不過我已經記不清楚上課的情形了，只有一件事印象很深：如何證明每一個二維曲面保角等價于平面?我知道如何把度量張量化成

的形式，但是想了很久都想不出怎樣使A=B。有一天，陳先生告訴我要用復變量，并寫下：

這個式子。學到這簡單的妙訣，是我畢生難忘的經歷。

張：您何時到達美國?

楊：1945年11月。到美國后，我想追隨費米或維格納學物理。但我在哥倫比亞大學找不到費米，因為他在1942年前已離去。于是我去普林斯頓大學找維格納，卻發現他下一年度休假，令我大為失望。幸好我聽說費米將回到芝加哥一個新成立的研究所去，這就是我去芝加哥大學讀博士學位的緣由。

張：陳省身先生有一段很長的時間在芝加哥大學當教授。

楊：是的，但這是我1949年離開芝加哥后的事。陳先生在1949年初到美國后，我們經常在普林斯頓、芝加哥和伯克利見面。

張：那時你們討論過纖維叢嗎?

楊：70年代之前從未談起過。我們早期的接觸是非學術性的。我們談論過很多數學家，卻未討論過數學。

在昆明和芝加哥做研究生時，楊振寧已經對規范不變性決定一切電磁相互作用的事實有深刻的印象。這課題能為人所知曉，是自外爾、福克、倫敦在1918—1929年間所做的工作，以及后來泡利的綜述文章開始的。但到了40年代和50年代初，這一課題在物理學中仍然只占有一個微不足道的純技術性的位置。在芝加哥，楊振寧試圖把規范不變性推廣到非交換群的情形(電磁場的規范群是交換群U(1))。類似于麥克斯韋方程，他嘗試把場強

定義為：

(1)

這似乎是麥克斯韋電磁場方程的自然推廣，但是“結果出現麻煩，不得不放棄”[1，p. 19]。

1954年楊振寧到紐約長島的布魯克海文國家實驗室訪問研究時，再次回到推廣規范不變性的想法上來。來自哥倫比亞大學獲得博士學位的米爾斯來到該實驗室做博士后，和楊振寧在同一辦公室工作。楊振寧將非交換規范場的想法介紹給米爾斯，他們決定在(1)式的右邊添加一個二次項

結果把一切“麻煩”都消除了，并引出一種很漂亮的新場論。1954年夏，他們向《物理評論》提交了一篇論文，此論文在當年10月發表，標題是“同位旋守恒和規范不變性”[2]。關于這段時期，米爾斯后來寫道[4，p. 463]：

我當時接受了一個博士后的工作，也在布魯克海文，并與楊振寧在同一個辦公室工作。(當時我正在紐約的哥倫比亞大學的克羅爾指導下慢慢地撰寫對于四階蘭姆位移可能有的貢獻進行研究的畢業論文。)楊振寧當時已在許多場合中表現出了他對剛開始物理學家生涯的青年人的慷慨，他告訴我關于推廣規范不變性的思想，而且我們較為詳細地做了討論。我當時已有了有關量子電動力學的一些基礎，所以在討論中能有所貢獻(特別是關于量子化的過程)，而且在計算它的表述形式方面也有小小的貢獻，但是一些關鍵性的思想都是屬于楊振寧的。

張：我看過有報道說，米爾斯當時在英國[4. p. 463]：“1954年，楊振寧在美國，米爾斯在英國，他們構造了一種涉及非交換群的麥克斯韋方程的非線性推廣。”

楊：那是不正確的。1954年米爾斯確實是在美國。后來他曾多次訪問英國，但絕不是1954年。

張：梅耶(M. E. Mayer)在1977年出版的一本書里，曾這樣寫道：

讀了Yang和Mills的論文，就可以看出他們一定明白了規范勢的幾何意義，因為他們使用了規范協變的微分與聯絡的曲率形式。此外，該文的基本方程將與從更為幾何的考慮而導出的方程相符······[5，p. 2]

梅耶認為你們已經清晰地理解了微分幾何，是這樣的嗎?

楊：不，不是這樣的。米爾斯和我在1954年所做的事，只是想推廣麥克斯韋方程。我們并不清楚麥克斯韋方程的幾何意義，也沒有朝那個方向去想。對物理學來說，規范勢根植于我們對電磁場的描述，而聯絡是一種幾何概念，我是在1970年前后才了解的。麥克斯韋方程原來具有很深的幾何意義，是物理學家意想不到的新發現。

張：一個有趣的問題是，你在1954年是否理解這篇關于非交換規范場論的原創論文的巨大重要性?

楊：喔，恐怕不會。在20世紀50年代，我們只覺得這篇文章很重要;到了60年代，才覺察到它的重要性;及至70年代，才曉得它對物理學是極為重要的。只是到了1974年以后，我才清楚認識到它跟數學的關系。

張：眾所周知，外爾是規范理論的創始人，為什么你們在1954年的論文中沒有提到他?

楊：在20世紀40至50年代，物理學家雖然知道外爾曾經導出交換的規范不變概念，但大多只引用泡利的評論文章[6，7]。事實上，我那時并沒有看過外爾的任何論文。

張：你在普林斯頓見過外爾嗎?

楊：當然見過，1985年，我在蘇黎世紀念外爾百年誕辰的演講中曾提到這件事：

當我在1949年成為普林斯頓高等研究所的一名年輕成員時，曾見過外爾。之后的幾年(1949—1955)內，我時常看到他。他很容易親近，但我不記得曾和他討論過物理學或數學問題。在物理學家中，沒有人知道他對規范場思想的興趣是鍥而不舍的。無論是奧本海默還是泡利，都從未提及這一點。我猜測他們也沒有把我和米爾斯1954年發表的論文告訴他。如果他們告訴了他，或者他偶然發現了我們的文章，那么我能想象得到，他一定會非常高興，而且會非常激動。因為我把他所最珍愛的兩樣東西——規范場和李群——放在一起了。[8，pp. 19–20]。

張：我從你的這篇有關外爾的漂亮文章中，知道外爾創立了中微子的二分量理論。

楊：是的。外爾在1929年所寫的論文中提出了這一理論，但指出它違背了左右對稱性，因此不能與現實有關。大約三十年以后，在1956—1957年間，當發現左右對稱性并不嚴格地被遵守的時候，外爾的理論復活了。時至今日，這仍然是有關中微子的正確理論。順便說一句，在外爾去世兩年以后，我和太太買了外爾在普林斯頓的房子，并在那里住了九年之久：1957—1966。

張：當外爾知道他的中微子理論獲得證實時，有怎樣的反應?

楊：在1957年物理學界發生巨大轟動的兩年之前，外爾不幸去世了。1957年初，發現左右對稱不被嚴格遵守(即宇稱不守恒)后，外爾的理論復活了。它與μ-衰變的實驗極漂亮地吻合。但此后的六個月，物理學界又陷入關于β-衰變的困惑，這一問題與外爾的中微子究竟是右旋還是左旋有關。到這年的秋天，出現了關于β-衰變結構的V-A建議。到了12月，一個精巧的實驗將一切問題都澄清了，其中包括外爾中微子是左旋的結論。

張：外爾比楊振寧年長37歲，他們屬于不同的學術時代，來自不同的國家，從事不同的學科。我們是否可以說外爾是非常欣賞物理的數學家，而楊振寧則是非常欣賞數學的物理學家?

在楊振寧和米爾斯的原始論文發表以后，涉及規范理論的量子化和重整化、尋求Yang - Mills方程的精確解的論文大量涌現，但只有少數人注意到規范場論的幾何與拓撲意義，其中包括S. Mandel - stam(1962)，E. Lubkin(1963)和H. G. Loos(1967)。此外，R. Hermann為物理學家寫了一系列數學讀物，其中一部分也涉及規范場和幾何的關系，不過這些工作似乎都沒有產生很大的影響。于是我向楊振寧先生詢問他了解規范場論與幾何學之間的關系的個人體驗。

張：1954年以后，您曾繼續研究規范理論嗎?

楊：是的，我一直在研究。在20世紀50年代和60年代，雖然物理學中還沒有實際地使用非交換規范場論，但是隨著時間的推移，越來越多的人欣賞到它的優美特性。例如在1964年，D. Ivanienko出版了一冊輯錄了12篇譯成俄文的關于規范場論的論文集，這些論文的作者包括Yang - Mills，Lee - Yang，J. J. Sakurai，M. Gell - Mann等。我自己在整個20世紀50年代都在規范場論的各個方面做工作，雖然沒有獲得多少有用的結果。

到了20世紀60年代末期，我開始用不可積相因子的方法重新建立規范場論。有一個學期，我正在講授廣義相對論，突然注意到規范場論中的公式

（2）

與黎曼幾何中的曲率公式

（3）

不僅十分相似，而且如果把二者的符號正確地等同起來，這兩個公式乃是完全一樣的。當我理解到這一點時，我內心的震撼是難以形容的。

張：這是你第一次覺察到規范場論與微分幾何之間有密切聯系嗎?

楊：我早先曾注意到Levi - Civita的平行移動和規范場論中的不可積相因子之間的相似性，但我真正領略到二者之間的精確聯系，是在我認識到公式(1)與(2)完全一樣的那一瞬間。

懷著想弄清楚規范理論的幾何意義的想法，我向一位杰出的幾何學家賽蒙斯(J. Simons)請教，他當時是紐約州立大學石溪分校的數學系主任。賽蒙斯告訴我，規范理論一定與纖維叢上的聯絡有關。這之后，我試圖從閱讀斯廷羅德(N. E. Steenrod)的《纖維叢的拓撲學》這類書去了解纖維叢理論，結果卻一無所獲。對物理學家而言，現代數學的語言實在太乏味、太抽象了。

張：我想，只有數學家才會欣賞今天的數學語言。

楊：我告訴你一個有關的故事。大約在十年前，我在韓國漢城做演講，開個即興玩笑說：“現今只有兩類現代數學著作：一類是你看完第一頁就不想看下去了，另一類是你看完第一句話就不想看下去了。”后來《數學情報員》雜志還把我這個玩笑刊登出來。但是我猜想，很多數學家都會同意我的看法。

張：你在什么時候弄懂了纖維叢理論?

楊：1975年初，我邀請賽蒙斯教授給我們做一系列有關微分形式和纖維叢理論的午餐演講，他欣然接受了這一邀請。于是我們學到了deRham定理、微分形式、拼接(patching)等。這些演講非常有用，使我們理解了物理學中Aharonov - Bohm實驗和狄拉克磁單極的量子化條件的數學含義。曹宏生和我后來還弄懂了美妙的Chern - Weil定理。回顧起來，正是這些演講，使我理解了過去理解得不甚清楚的流形的概念。

張：賽蒙斯的演講促使楊振寧和吳大峻寫了一篇著名的論文：《不可積相因子的概念與規范場的整體表述》[9]。在這篇論文里，他們分析了電磁場的內蘊含義，特別強調了它的整體拓撲性質。他們討論了Aharonov-Bohm實驗和狄拉克磁單極的量子化條件的數學意義。他們還展示了如下的一個字典(后來被稱為“吳–楊字典”)：

?是廣義下的電荷和電流。

半年后，即1976年夏天，麻省理工學院的數學家辛格(I. M. Singer)教授來紐約州立大學石溪分校訪問，并和楊教授做了詳細的討論。Singer在大學里原本是學物理的，20世紀40年代轉入數學系做研究生。他在1985年這樣寫道：

三十年后，我發現自己在牛津大學講規范場理論，從吳大峻和楊振寧的字典講起，最終得到了瞬子，即楊–米爾斯方程的自對偶解。做了三十年的數學，我似乎又回到了物理學[10，p. 200]。

為了闡述過去十年的發展，Singer在這篇文章里引用了吳–楊的字典。

1977年四五月間，一份由Atiyah，Hitchin，Singer[11]合著的預印本被廣泛傳閱。在這篇文章里，Atiyah-Singer的指標定理被應用到自對偶規范場上去，由此而引發了許多數學家對規范場的興趣。

1979年，Atiyah出版了一個專題研究報告，題目是“楊–米爾斯場論的幾何學”[12]。他的《論文選集》第五卷以“規范場理論”為標題。在楊振寧石溪的辦公室的書架上，我發現了一冊有Atiyah簽名的第五卷《論文選集》。在前言中，Atiyah寫道[13]：

從1977年開始，我的興趣轉向規范場理論，以及幾何學和物理學的互動。一直以來，我對理論物理的興趣不大，大多數的沖擊都來自跟麥凱(George Mackey)的深入討論。1977年的動因來自兩個源泉。一方面，Singer告訴我Yang-Mills方程，通過楊振寧的影響，它正在向數學圈滲透。當Singer在1977年初訪問牛津時，他與Hitchin和我周密地考察了自對偶方程。我們發現，簡單應用指標定理，就可以得出關于“瞬子”的參數個數的公式。另一個動因則來自彭羅斯(Roger Penrose)和他的小組。

張：在吳–楊字典中，你們為什么留下一個問號?

楊：因為那時數學家不曾探究過物理學家十分熟悉的重要概念：源，通常用J表示。在麥克斯韋對庫侖定律和安培–麥克斯韋定律的聯合表述中，這是一個關鍵的概念。用現代數學來寫，就是：

其中?是Hodge對偶。在“無源”(J=0)的情形，則可以寫成

當

(依據±號的選取，f分別稱為自對偶與反自對偶的)時，此方程自動滿足(因為f本身還滿足另一組麥克斯韋方程

這是法拉第定律和高斯定律的聯合表述)。正是這個原因，許多數學家和物理學家開始研究自對偶與反自對偶的Yang-Mills方程。

張：這是一個極有趣的故事。自對偶規范場的研究后來引出了許多優美的數學，包括菲爾茲獎得主唐納森的工作(下面還會提到)。

楊：是的，這故事正好提供了一個現代的例子，就是數學家可以從物理學衍生某些概念，這其實在幾個世紀以前是很普遍的，不幸的是，現在很少見了。

張：有些數學概念對物理學也會變得重要，對此你有什么意見?我們會想起愛因斯坦曾被勸告去注意張量分析，這和你從賽蒙斯那里得到了幫助是否類似?

楊：愛因斯坦有博大精深和令人驚嘆的洞察力，不宜將后人和他相提并論。至于數學滲入廣義相對論與規范場理論的過程，是完全不同的。就前者而言，愛因斯坦沒有黎曼幾何就不可能寫出廣義相對論的方程；就后者而言，規范場論的方程早已寫出來了，但后來是通過數學才了解其深意。

張：曾有許多學者早就指出，規范場論和纖維叢理論密切相關，為什么他們的論文不如你們的論文在數學界有影響力?

楊：這可能有許多原因。有些工作太形式化，以至于物理學家不能理解它究竟說了些什么;有些是由于物理內容沒有被充分揭示，使得數學家覺得太微不足道。至于吳大峻和我在1975年所寫的論文，關于Aharonov-Bohm實驗和狄拉克磁單極的量子化條件的討論，都有助于引起人們的關注。當然，那個字典也很有用。

張：你和Singer、Atiyah有過學術交往嗎?

楊：我多次見過他們，但沒有學術合作。

楊振寧為數學界提供的另一重要數學結構，是Yang-Baxter方程，這是從他在統計力學的工作中引出的。

1967年，楊振寧試圖找出在δ-函數相互作用下，一維費米子多體問題的本征函數[14]。這是一個相當困難的問題。他在求解過程中，揭示出關鍵的一步是以下的矩陣方程：

(4)

數年之后，Baxter在解另一個物理問題(八頂點模型)時，再次得到矩陣方程(4)。之后有好幾個研究中心都朝著這兩個發展方向進行研究，尤其是蘇聯，更集中了人力去研究。1980年，L. D. Faddeev采用了“Yang-Baxter關系”或“Yang-Baxter方程”的術語。時至今日，這一命名已被廣泛接受。(1985年，Vladimir Drinfeld還定義了所謂的Yangian以紀念楊振寧，這與量子Yang-Baxter方程有關。)

最近六七年以來，數學和物理學上許多激動人心的進展表明，Yang-Baxter方程是與許多數學分支有關的一個基本數學結構，這些分支包括：紐結和辮群理論、算子理論、Hopf代數、量子群、三維拓撲、微分方程的單值化等。就這些課題而發表的工作造成了文獻爆炸[10—12]。

張：Yang-Baxter方程不過是一個簡單的矩陣方程，為何會有那么大的重要性呢?

楊：在最簡單的情況下，該方程可以寫為

 (5)

這是關于辮群的Artin基本方程。顯然，編辮子是一系列置換的歷史記錄。我們也不難理解，許多數學和物理問題與一連串置換的歷程有密切關系。

從最近六七年的進展來看，我感覺，Yang-Baxter方程是繼Jacobi恒等式

(其中[A,B]=AB?BA是換位子)之后最基本的代數方程。大家都知道，Jacobi恒等式是整個李代數理論及相關的李群理論的起點。

張：Yang-Baxter方程對數學的影響似乎比對物理的影響更大?

楊：目前是如此。實際上，有些物理學家認為，Yang-Baxter方程是純數學，我認為這看法將會改變。Yang-Baxter方程是一個基本結構，不論物理學家是否喜歡，最終必然要使用它。在20年代，許多物理學家稱群論為“害”(group pest)。這種觀念一直持續到30年代，但此后就消失了。

Yang-Mills理論和Yang-Baxter方程，兩者都在當今核心數學中占重要位置，從1986年和1990年的菲爾茲獎的頒發就可以看出這一點。

唐納森在1986年于伯克利舉行的國際數學家大會上獲得菲爾茲獎。Atiyah這樣介紹唐納森的工作[19]：

如果跟弗里德曼(Freedman)的一項重要工作合在一起，唐納森的結論意味著：存在一個“怪異”的四維空間，它與標準的歐幾里得空間同胚，但不微分同胚······他們的結果來自理論物理中的Yang-Mills方程，它是麥克斯韋方程的非線性推廣。

1990年的國際數學家大會有四位菲爾茲獎得主：德林費爾德(Vladimir Drinfeld)、瓊斯(V. F. R. Jones)、森重文(Shigefumi Mori)和威騰(E. Witten)。除森重文外，其他三人的工作都跟Yang-Mills方程或Yang-Baxter方程有關。以下的引文摘自1990年在京都舉行的國際數學家大會上的報告：

我們要提到德林費爾德和馬寧(Manin)在構造瞬子方面的先驅性工作。這些是自對偶Yang-Mills方程的解······德林費爾德在物理學上的興趣，繼續保持在Yang-Baxter方程的研究上[20，p. 1210]。

瓊斯認識到，在某些條件下，Yang-Baxter方程可用來構造鏈環(link)的一些不變量，從而開啟了一個新的方向······量子群理論和非交換Hopf代數被神保道夫(Michio Jimbo)和德林費爾德用來構造Yang-Baxter方程的解[21，p. 1210]。

威騰用這些觀念描述了唐納森和弗洛爾(Floer)的不變量(Atiyah早先想法的推廣)，并且將瓊斯的紐結多項式推廣到任意的環繞三維流形(ambient 3-manifold)上[22，p. 1214]。

我也頗有興趣地注意到，在京都國際數學家大會上的大會報告過分傾向于數學物理，人們有過一些抱怨[23]：

到處聽到的都是量子群、量子群、量子群!

張：為什么您在物理上的工作會對數學產生這么大的影響?

楊：這是一個很難回答的問題。幸運是一個因素。除此之外，以下兩點可能有關。首先，如果你選擇去做原始的問題，那么你就有較大的機會接觸到數學的基本結構。其次，你必須對數學的價值觀有某種程度的欣賞。

張：請就第一點做進一步的說明。

楊：理論物理中的好多文章是這樣產生的：甲發表了一篇論文闡述他的理論，乙說他的論文改進了甲的結果，后來丙指出乙的理論是錯誤的，甚至往往最后發現甲的原始概念是完全錯的或者根本沒有意義。

張：數學界同樣有類似的情形。

楊：不，不，情況極為不同。數學定理都是被證實過的，或被認為是證實過的。在理論物理界，我們就像在做猜謎游戲，而大多數猜測又往往是錯的。

張：不過，讀最新的文獻是必要的。

楊：那當然對，了解你從事的領域中別人在想些什么，當然是重要的。但是要取得實質性的進展，就必須面對原始的簡單物理問題，而不是別人的猜想。

張：您和米爾斯在1954年提出規范場正是這樣做的嗎?

楊：是的，我們問自己：“我們能否把麥克斯韋方程加以推廣，從而得到粒子相互作用的一般法則呢?”

張：那么，Yang-Baxer方程又是怎么一回事呢?您在1967年的論文里討論的并不是物理學里的一個基本重要的問題。

楊：你說得對。但是，我是在探究量子力學里一個最簡單的數學問題：具有最簡單的相互作用的一維費米子的系統。

張：為什么您強調“最簡單”?

楊：因為問題越簡單，你的分析工作就越可能接近某些基本的數學結構。讓我用以下的比喻來闡明。假如象棋與圍棋中有一者被發現具有一個以數學為基礎的獲勝策略，那么一定是圍棋，因為圍棋較為簡單和基本。

張：請您再談談第二點成功秘訣。

楊：許多理論物理工作者在某些方面對數學有抗拒的心理或者有貶低數學的傾向。我不贊同這種態度，我曾經這樣寫道[1，p. 74]：

我的物理學界同事大多對數學采取功利主義的態度。也許因為受我父親的影響，我較為欣賞數學。我欣賞數學家的價值觀，我贊美數學的優美和力量：它有戰術上的技巧與靈活，又有戰略上的雄才遠慮。而且，堪稱奇跡中的奇跡的是，它的一些美妙概念竟是支配物理世界的基本結構。

張：您父親對你有哪些數學影響?

楊：舉例來說吧。當我還是中學生的時候，就從父親那里接觸到群論的基本原理，也常常被父親書架上的一本斯派澤關于有限群的書中的美麗插圖所迷住。當我寫大學論文時，父親建議我讀一讀迪克森所寫的一本小書，叫做《近世代數理論》。這本書有短短20頁的一章介紹了群表示的特征標理論的要點。這一章的優美和威力，使我認識到群論無與倫比的美妙和力量。

張：據說你曾經當過中學數學老師，而且楊夫人(杜致禮)就是你授課班上的學生。

楊：是的。我曾在1944—1945年間，在昆明的一所中學里教數學，她是我班上的學生。但那時我們并不熟悉。好幾年之后，我在普林斯頓和她邂逅。教數學是一樁有趣的經歷，不過這跟我對數學的態度并沒有關系。

張：你認為物理學家多學一點數學是否重要?

楊：不，如果一個物理學家學了太多的數學，他或她將可能被數學的價值觀所吸引，并因而喪失自己的物理直覺。我曾經把數學和物理之間的關系比喻為一對樹葉，它們只在基部有很小的共同部分，而其余大部分是分開的：

它們有各自的目標和截然不同的價值觀與傳統。在基礎概念的層面，它們令人驚訝地共享著某些概念，但即使如此，每個學科仍舊按著自身的脈絡生長著。

張：對物理學來說，學習實驗結果是否更重要?

楊：是的。

張：你曾和許多數學家有過交往嗎?

楊：有一些。當李政道和我在1951年研究后來被稱為“單位圓定理”的時候，Von Neumann和A. Selberg曾建議我們去讀G. Pólya和Szego的著作《分析中的問題和定理》。1965年H. Whitney曾向我和我的弟弟楊振平講解向量場的指數(index)的拓撲概念。為了求解Wiener-Hopf積分方程，M. Kac曾建議我們讀M. G. Krein有關這一課題的長篇綜述。到了70年代，我曾和復旦大學以谷超豪為首的數學小組進行合作。除了這里提到的賽蒙斯講座之外，我還得益于跟普林斯頓高等研究院A. Borel的交往，也得益于紐約州立大學石溪分校數學系的同事：Ronald G. Douglas，M. Gromov，I. Kra，B. Lawson，薩支漢(C. H. Sah)①和其他人。

①美國著名數學家，1934年出生于北京，是物理學家薩本棟次子。

張：你和陳先生有很多的交往嗎?

楊：如上所述，我早年在中國曾選修過他講述的微分幾何課，也可能旁聽過他的其他課程。在1949年及以后的幾年，我們曾多次見面，但未曾深談數學。在20世紀50年代，我已經說過陳氏級(Chern class)的重要性，但并不知道它的奧妙。

只是到了1975年，當賽蒙斯在我們的理論物理研究所做了一系列演講之后，我才終于明白了纖維叢和纖維叢上的“聯絡”的基本概念。經過一番努力，我也終于明白了最基本的陳–韋伊(Chern-Weil)定理。

我在懂得這深奧美妙的定理后，真的有了觸電的感覺。這個感受猶勝于60年代了解外爾(Weyl)計算群表示的特征標公式和彼得–外爾(Peter-Weyl)定理之后的喜悅。為什么呢?可能是因為陳–韋伊定理更“幾何”一點吧。

而且，感受并不止于此。還有更深刻、更觸及心靈深處的地方：到頭來忽然領悟到，客觀的宇宙奧秘與純粹用邏輯和優美這些概念發展出來的數學概念竟然完全吻合，那真是令人感到悚然。我曾經描述過這個感受[1，p. 567]：

在1975年，明白了規范場和纖維叢理論之間的關系之后我非常激動。我開車到陳省身教授在伯克利附近的El Cerrito寓所······我說，物理學上的規范場正好是纖維叢上的聯絡，而后者是在不涉及物理世界的情況下發展出來的，這實在令我驚訝。我還加了一句：“這既令我驚訝，也令我迷惑不解，因為你們數學家憑空夢想出這些概念。”陳省身當即提出異議：“非也，非也，這些概念并非是憑空夢想出來的，它們既是自然的，也是實在的。”

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