公元前500年前后，古希臘畢達哥拉斯學派宰殺百牛歡宴，慶祝畢達哥拉斯定理的發現：直角三角形兩直角邊平方之和等于斜邊平方，即X^2+Y^2=Z^2。公元前12世紀我國《周髀算經》也提出過“勾三股四弦五”，后稱勾股定理。如果把冪次提高，對于方程X^3+Y^3=Z^3直至X^n+Y^n=Z^n能否找到正整數解？這一問題的提出和“解答”始于法國業余數學家費馬。
費馬貢獻最大的領域是數論，但他從不公布，過世后其子才將成果整理出版。大約1637年，費馬在閱讀古希臘數學家丟番圖《算術》第二卷第八命題有關X^2+Y^2=Z^2的討論時寫道：“將一個立方數分為兩個立方數，一個四次冪分為兩個四次冪，或者一般地將高于二次的冪分為兩個同次的冪，這是不可能的。關于此，我確信已發現一種奇妙的證法，可惜這里的空白地方太小，寫不下?！贝嗽挵l表于1670年，費馬已過世5年。大家翻遍費馬遺稿，也沒找到這一證明。19世紀初，費馬遺留的其他問題均告解決，只剩這一問題懸而未解，是以被稱為“費馬最后定理”（我國稱“費馬大定理”）。
1676年數學家根據費馬的少量提示用無窮遞降法證明了n=4。
1678年和1738年德國數學家萊布尼茲和瑞士數學家歐拉也各自證明了n=4。
1770年歐拉證明n＝3。
1823年和1825年法國數學家勒讓德和德國數學家狄利克雷先后證明n＝5。
1832年狄利克雷試圖證明n＝7，卻只證明了n＝14。
1839年法國數學家拉梅證明了n＝7，隨后得到法國數學家勒貝格的簡化……
19世紀貢獻最大的是德國數學家庫麥爾，他從1844年起花費20多年時間，創立了理想數理論，為代數數論奠下基礎；庫麥爾證明當n＜100時除37、59、67三數外費馬大定理均成立。
為推進費馬大定理的證明，布魯塞爾和巴黎科學院數次設獎。1908年德國數學家佛爾夫斯克爾臨終在哥廷根皇家科學會懸賞10萬馬克，并充分考慮到證明的艱巨性，將期限定為100年。數學迷們對此趨之若鶩，紛紛把“證明”寄給數學家，期望憑短短幾頁初等變換奪取桂冠。德國數學家蘭道印制了一批明信片由學生填寫，上面印著：
親愛的__________：
謝謝您寄來的您關于費馬大定理的證明稿件。第一個錯誤是在第_____頁______行。
這使得證明無效。
E.M.蘭道教授
在解決問題的過程中，數學家們不但利用了廣博精深的數學知識，還創造了許多新理論新方法，對數學發展的貢獻難以估量。1900年，希爾伯特提出尚未解決的23個問題時雖未將費馬大定理列入，卻把它作為一個在解決中不斷產生新理論新方法的典型例證。據說希爾伯特還宣稱自己能夠證明，但他認為問題一旦解決，有益的副產品將不再產生?！拔覒幼⒁?，不要殺掉這只經常為我們生出金蛋的母雞?！?/span>
數學家就是這樣緩慢而執著地向前邁進，直至1955年證明了n＜4002。大型計算機的出現推進了證明速度，1976年德國數學家瓦格斯塔夫證明n＜125000，1985年美國數學家羅瑟證明n＜41000000。但數學是嚴謹的科學，n值再大依然有限，從有限到無窮的距離漫長而遙遠。
1983年，年僅29歲的德國數學家法爾廷斯證明了代數幾何中的莫德爾猜想，為此在第20屆國際數學家大會上榮獲菲爾茨獎；此獎相當于數學界的諾貝爾獎，只授予40歲以下的青年數學家。莫德爾猜想有一個直接推論：對于形如X^n+Y^n=Z^n（n≥4）的方程至多只有有限多組整數解。這對費馬大定理的證明是一個有益的突破。從“有限多組”到“一組沒有”還有很大差距，但從無限到有限已前進了一大步。
1955年日本數學家谷山豐提出過一個屬于代數幾何范疇的谷山猜想，德國數學家弗雷在1985年指出：如果費馬大定理不成立，谷山猜想也不成立。隨后德國數學家佩爾提出佩爾猜想，補足了弗雷觀點的缺陷。至此，如果谷山猜想和佩爾猜想都被證明，費馬大定理不證自明。
事隔一載，美國加利福尼亞大學伯克利分校數學家里比特證明了佩爾猜想。
1993年6月，英國數學家、美國普林斯頓大學教授安德魯·懷爾斯在劍橋大學牛頓數學研究所舉行了一系列代數幾何學術講演。在6月23日最后一次講演《橢圓曲線、模型式和伽羅瓦表示》中，懷爾斯部分證明了谷山猜想。所謂部分證明，是指懷爾斯證明了谷山猜想對于半穩定的橢圓曲線成立——謝天謝地，與費馬大定理相關的那條橢圓曲線恰好是半穩定的！這時在座60多位知名數學家意識到，困擾數學界三個半世紀的費馬大定理被證明了！這一消息在講演后不脛而走，許多大學都舉行了游行和狂歡，在芝加哥甚至出動了警察上街維持秩序。
文章來源：數學英才
IEEE Spectrum
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