○ 花椰菜。| 圖片來源：Jon Sullivan

這些自然的形式看起來異常復雜，似乎超出了數學能夠描述的范圍，然而事實卻證明，它們可以從簡單的數學規則中產生，盡管這一點，是直到計算機出現之后數學家才完全意識到的。

分形（fractal）就是這樣一種幾何對象，分形物體在任何尺度上都表現出復雜的結構，如果像放大一張地圖一樣不斷放大一個分形結構，你會發現它的復雜性并不會減少，而是會看到同樣的結構一次又一次出現。

科赫曲線（又稱科赫雪花）就是一個著名的例子。從一個等邊三角形開始，將每條邊中間的三分之一替換成由較小的等邊三角形的兩條邊組成的“尖峰”，得到一個具有12條直線線段的形狀。然后，對生成形狀的12條直線段的每一個重復同樣的操作……無限重復。經過無限步之后，如果將最終得到的形狀不斷放大，你會發現在每一個尺度都有同樣的尖峰結構——你永遠不會看到輪廓中出現一條直線段，因為曾經存在的每一條直線段都已經被分解，并用一個“尖峰”重新裝飾了。

○ 經過無窮步之后，從三角形中出現了科赫的雪花圖案，也就是科赫曲線。| 圖片來源：António Miguel de Campos

從數學上來說，分形存在于一個奇怪的世界，一個介于兩種維度之間的世界。比如說，我們不能說科赫的雪花圖案是一維的，因為無論將它放大到什么程度，都不會出現直線或光滑曲線，它根本不包含這些一維的幾何結構。然而，科赫曲線也不是二維的，因為它不占據面積。

事實上，需要一種新的“維度”定義來確定科赫曲線在維度的層級結構中的位置。根據這種定義，科赫曲線的維數大約為1.26，是分數維而不是通常的整數維，這就是分形的特征，也是這類幾何結構被稱為“分形”的原因。

○ 不同幾何圖形的維數，科赫曲線介于一維（d=1）和二維（d=2）之間。| 圖片繪制：Pany@NPI

數學家知道分形結構已經有一段時間了。1904年，瑞典數學家科赫（Helge von Koch）首次發表了雪花圖案的結構，但是它被認為是一種數學怪胎，一種奇怪的人工構造。

直到計算機出現之后，一個事實才變得明顯起來，那就是分形也可以出現在日常的數學對象中。例如，另一種分形結構——曼德布洛特集合（Mandelbrot set），就可以通過復二次函數 f(z)=z2+c 的不斷迭代而獲得。如果復數c屬于這個集合，那么它在復平面上的點就用黑色表示，否則就用白色表示，如此層層迭代，最終得到無比絢麗多彩的曼德布洛特集合。若想要能看見分形結構，往往需要數十萬次的計算，如果只是用鉛筆和紙的話，這些計算是不可能完成的。

○ 曼德布洛特集合繪制在復平面上形成絢麗多彩的圖案，這種圖案具有自相似性，無論放大到什么尺度，都會表現出相同的結構。

分形結構在現實生活中隨處可見。例如，金融市場的波動，無論是一整年的波動曲線，還是僅僅一周的波動曲線，看起來都很相似，也就是說，它們表現出自相似性（整個結構與自己的一部分相似）。自然界中更是存在大量的分形圖案：海岸線、星系、湍流、山脈地形等等等等。利用數學，我們可以通過計算機編程繪制出夢幻般栩栩如生的分形圖像。

○ Ken Musgrave創造的分形山脈景觀。| 圖片來源：Ken Musgrave

○ 創造分形山脈景觀的過程示意圖。| 圖片來源：António Miguel de Campos

正如科赫曲線一樣，自然界的分形結構通常可以通過重復應用一套相對簡單的數學規則來模擬。這個過程可以說明，驚人的復雜性是如何從看似簡單的數學或物理系統中出現的。事實上，分形與混沌理論密切相關，混沌理論探索的過程雖然不是隨機的，但仍然不可預測。

分形理論有許多實際應用，它被用來理解宇宙、金融市場、動物和人類等不同層次的復雜系統的命運。在醫學研究中，它被用來揭示我們大腦和消化系統的結構，并被用以發展醫學成像技術。在圖像和視頻壓縮甚至是識別藝術贗品中，分形幾何也有其應用。分形幾何也為藝術家打開了全新的世界。

參考鏈接：

https://plus.maths.org/content/fantastic-fractals

文章來源：原理

IEEE Spectrum

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