算法介紹
矩陣求逆在程序中很常見，主要應(yīng)用于求Billboard矩陣。按照定義的計算方法乘法運算，嚴重影響了性能。在需要大量Billboard矩陣運算時，矩陣求逆的優(yōu)化能極大提高性能。這里要介紹的矩陣求逆算法稱為全選主元高斯-約旦法。
高斯-約旦法（全選主元）求逆的步驟如下：
首先，對于 k 從 0 到 n - 1 作如下幾步：
從第 k 行、第 k 列開始的右下角子陣中選取絕對值最大的元素，并記住次元素所在的行號和列號，在通過行交換和列交換將它交換到主元素位置上。這一步稱為全選主元。
m(k, k) = 1 / m(k, k)
m(k, j) = m(k, j) * m(k, k)，j = 0, 1, ..., n-1；j != k
m(i, j) = m(i, j) - m(i, k) * m(k, j)，i, j = 0, 1, ..., n-1；i, j != k
m(i, k) = -m(i, k) * m(k, k)，i = 0, 1, ..., n-1；i != k
最后，根據(jù)在全選主元過程中所記錄的行、列交換的信息進行恢復(fù)，恢復(fù)的原則如下：在全選主元過程中，先交換的行（列）后進行恢復(fù)；原來的行（列）交換用列（行）交換來恢復(fù)。
標簽：
算法
矩陣求逆
程序
上傳時間：
2015-04-09
上傳用戶：wang5829
function [alpha,N,U]=youxianchafen2(r1,r2,up,under,num,deta)
%[alpha,N,U]=youxianchafen2(a,r1,r2,up,under,num,deta)
%該函數(shù)用有限差分法求解有兩種介質(zhì)的正方形區(qū)域的二維拉普拉斯方程的數(shù)值解
%函數(shù)返回迭代因子、迭代次數(shù)以及迭代完成后所求區(qū)域內(nèi)網(wǎng)格節(jié)點處的值
%a為正方形求解區(qū)域的邊長
%r1,r2分別表示兩種介質(zhì)的電導(dǎo)率
%up,under分別為上下邊界值
%num表示將區(qū)域每邊的網(wǎng)格剖分個數(shù)
%deta為迭代過程中所允許的相對誤差限
n=num+1; %每邊節(jié)點數(shù)
U(n,n)=0; %節(jié)點處數(shù)值矩陣
N=0; %迭代次數(shù)初值
alpha=2/(1+sin(pi/num));%超松弛迭代因子
k=r1/r2; %兩介質(zhì)電導(dǎo)率之比
U(1,1:n)=up; %求解區(qū)域上邊界第一類邊界條件
U(n,1:n)=under; %求解區(qū)域下邊界第一類邊界條件
U(2:num,1)=0;U(2:num,n)=0;
for i=2:num
U(i,2:num)=up-(up-under)/num*(i-1);%采用線性賦值對上下邊界之間的節(jié)點賦迭代初值
end
G=1;
while G>0 %迭代條件：不滿足相對誤差限要求的節(jié)點數(shù)目G不為零
Un=U; %完成第n次迭代后所有節(jié)點處的值
G=0; %每完成一次迭代將不滿足相對誤差限要求的節(jié)點數(shù)目歸零
for j=1:n
for i=2:num
U1=U(i,j); %第n次迭代時網(wǎng)格節(jié)點處的值
if j==1 %第n+1次迭代左邊界第二類邊界條件
U(i,j)=1/4*(2*U(i,j+1)+U(i-1,j)+U(i+1,j));
end
if (j>1)&&(j U2=1/4*(U(i,j+1)+ U(i-1,j)+ U(i,j-1)+ U(i+1,j));
U(i,j)=U1+alpha*(U2-U1); %引入超松弛迭代因子后的網(wǎng)格節(jié)點處的值
end
if i==n+1-j %第n+1次迭代兩介質(zhì)分界面（與網(wǎng)格對角線重合）第二類邊界條件
U(i,j)=1/4*(2/(1+k)*(U(i,j+1)+U(i+1,j))+2*k/(1+k)*(U(i-1,j)+U(i,j-1)));
end
if j==n %第n+1次迭代右邊界第二類邊界條件
U(i,n)=1/4*(2*U(i,j-1)+U(i-1,j)+U(i+1,j));
end
end
end
N=N+1 %顯示迭代次數(shù)
Un1=U; %完成第n+1次迭代后所有節(jié)點處的值
err=abs((Un1-Un)./Un1);%第n+1次迭代與第n次迭代所有節(jié)點值的相對誤差
err(1,1:n)=0; %上邊界節(jié)點相對誤差置零
err(n,1:n)=0; %下邊界節(jié)點相對誤差置零
G=sum(sum(err>deta))%顯示每次迭代后不滿足相對誤差限要求的節(jié)點數(shù)目G
end
標簽：
有限差分
上傳時間：
2018-07-13
上傳用戶：Kemin
